Krok 1. Wykorzystanie ciągu arytmetycznego. Dla trzech kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego środkowy jest średnią skrajnych:
$$2b=a+c.$$
Krok 2. Wyznaczenie $b$ z sumy.
$$a+b+c=27\ \Longrightarrow\ (a+c)+b=27\ \Longrightarrow\ 2b+b=27,$$
$$3b=27\ \Longrightarrow\ b=9,\qquad a+c=18.$$
Krok 3. Wykorzystanie ciągu geometrycznego. Kwadrat wyrazu środkowego równa się iloczynowi sąsiednich:
$$b^{2}=(a-2)(2c+1)\ \Longrightarrow\ 81=(a-2)(2c+1).$$
Krok 4. Redukcja do jednej niewiadomej. Podstawiamy $c=18-a$:
$$81=(a-2)\bigl(2(18-a)+1\bigr)=(a-2)(37-2a).$$
$$81=37a-2a^{2}-74+4a=-2a^{2}+41a-74.$$
$$2a^{2}-41a+155=0.$$
Krok 5. Rozwiązanie równania kwadratowego.
$$\Delta=41^{2}-4\cdot2\cdot155=1681-1240=441,\qquad \sqrt{\Delta}=21.$$
$$a_1=\frac{41-21}{4}=5,\qquad a_2=\frac{41+21}{4}=\frac{31}{2}.$$
Krok 6. Obie trójki liczb.
Przypadek 1: $a=5$, $b=9$, $c=18-5=13$.
Ciąg arytmetyczny $5,\,9,\,13$ ma różnicę $4$, suma wynosi $27$ ✓. Ciąg geometryczny to $(3,\,9,\,27)$ o ilorazie $3$ ✓
Przypadek 2: $a=\frac{31}{2}$, $b=9$, $c=18-\frac{31}{2}=\frac{5}{2}$.
Ciąg arytmetyczny $\frac{31}{2},\,9,\,\frac52$ ma różnicę $-\frac{13}{2}$, suma wynosi $27$ ✓. Ciąg geometryczny to $\left(\frac{27}{2},\,9,\,6\right)$ o ilorazie $\frac23$ ✓
Oba rozwiązania spełniają wszystkie warunki zadania.
Odpowiedź: $a=5,\ b=9,\ c=13$ lub $a=\frac{31}{2},\ b=9,\ c=\frac{5}{2}$