📄 Treść zadania
Samochód przejechał \(180km\), jadąc ze stała prędkością. Gdyby jechał z prędkością o \(30\frac{km}{h}\) większą, to czas przejazdu skróciłby się o godzinę. Z jaka prędkością jechał samochód?
Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do zadania.
\(s=180\) - pokonana trasa (w \(km\))
\(v_{1}\) - prędkość jazdy samochodu (w \(\frac{km}{h}\))
\(v_{2}=v_{1}+30\) - prędkość jazdy samochodu (w \(\frac{km}{h}\)), gdy samochód zwiększa prędkość o \(30\frac{km}{h}\)
\(t_{1}\) - czas jazdy (w godzinach)
\(t_{2}=t_{1}-1\) - czas jazdy (w godzinach), gdy samochód jedzie szybciej
Krok 2. Utworzenie i rozwiązanie układu równań.
Skorzystamy teraz ze wzoru na drogę \(s=vt\) i zapiszemy relację dotyczącą prędkości jazdy w obydwu przypadkach w formie układu równań:
$$\begin{cases} s=v_{1}\cdot t_{1} \\ s=v_{2}\cdot t_{2} \end{cases}$$
$$\begin{cases} 180=v_{1}\cdot t_{1} \\ 180=v_{2}\cdot t_{2} \end{cases}$$
Podstawiając pod drugie równanie dane z kroku pierwszego otrzymamy:
$$\begin{cases} 180=v_{1}\cdot t_{1} \\ 180=(v_{1}+30)\cdot (t_{1}-1) \end{cases}$$
$$\begin{cases} v_{1}=\frac{180}{t_{1}} \\ 180=(v_{1}+30)\cdot (t_{1}-1) \end{cases}$$
Teraz skorzystamy z metody podstawiania i podstawimy \(v_{1}\) z pierwszego równania do drugiego:
$$180=\left(\frac{180}{t_{1}}+30\right)\cdot (t_{1}-1)$$
Wymnażając poszczególne nawiasy i upraszczając zapis do postaci ogólnej otrzymamy:
$$180=180-\frac{180}{t_{1}}+30t_{1}-30 \quad\bigg/-180$$
$$-\frac{180}{t_{1}}+30t_{1}-30=0 \quad\bigg/\cdot t_{1}$$
$$-180+30t_{1}^2-30t_{1}=0 \quad\bigg/:30$$
$$-6+t_{1}^2-t_{1}=0$$
$$t_{1}^2-t_{1}-6=0$$
Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Współczynniki: \(a=1,\;b=-1,\;c=-6\)
$$Δ=b^2-4ac=(-1)^2-4\cdot1\cdot(-6)=1-(-24)=25$$
$$\sqrt{Δ}=\sqrt{25}=5$$
$$t_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-1)-5}{2\cdot1}=\frac{1-5}{2}=\frac{-4}{2}=-2$$
$$t_{1}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-1)+5}{2\cdot1}=\frac{1+5}{2}=\frac{6}{2}=3$$
Ujemny wynik musimy odrzucić, bowiem czas nie może być ujemny. To oznacza, że \(t_{1}=3\).
Krok 4. Obliczenie prędkości jazdy samochodu.
Znamy długość drogi \(s=180km\), wiemy też że czas jazdy wynosi \(t_{1}=3h\), zatem bez problemu obliczymy prędkość auta:
$$v=\frac{s}{t}$$
$$v=\frac{180km}{3h}$$
$$v=60\frac{km}{h}$$