📄 Treść zadania
Ciąg geometryczny \((a_{n})\) jest określony wzorem \(a_{n}=2^n\) dla \(n\ge1\). Suma dziesięciu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa:
A
\(2(1-2^{10})\)
B
\(-2(1-2^{10})\)
C
\(2(1+2^{10})\)
D
\(-2(1+2^{10})\)
Krok 1. Obliczenie wartości ilorazu \(q\).
Aby wyznaczyć wartość ilorazu \(q\) obliczmy sobie najpierw wartość pierwszego i drugiego wyrazu tego ciągu:
$$a_{n}=2n$$
$$a_{1}=2^1=2$$
$$a_{2}=2^2=4$$
$$q=\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{4}{2}=2$$
Krok 2. Obliczenie sumy dziesięciu pierwszych wyrazów.
Znając wartość ilorazu \(q\) oraz wartość pierwszego wyrazu, możemy skorzystać z następującego wzoru:
$$S_{n}=a_{1}\cdot\frac{1-q^n}{1-q}$$
$$S_{10}=2\cdot\frac{1-2^{10}}{1-2}$$
$$S_{10}=2\cdot\frac{1-2^{10}}{-1}$$
$$S_{10}=-2\cdot(1-2^{10})$$