📄 Treść zadania
Zbiorem rozwiązań nierówności \((x-2)^2\le14-(2-x)(x+2)\) jest przedział:
A
\(\langle-\frac{3}{2},+\infty)\)
B
\((-\frac{3}{2},+\infty)\)
C
\(\langle-1,3\rangle\)
D
\((-\infty,-\frac{3}{2}\rangle\)
Wymnażając przez siebie poszczególne wyrazy oraz korzystając ze wzorów skróconego mnożenia otrzymamy:
$$(x-2)^2\le14-(2-x)(x+2)$$
$$x^2-4x+4\le14-(2x+4-x^2-2x)$$
$$x^2-4x+4\le14-2x-4+x^2+2x$$
$$x^2-4x+4\le x^2+10$$
$$-4x+4\le10$$
$$-4x\le6 \quad\bigg/:-4$$
$$x\ge-\frac{6}{4}$$
$$x\ge-\frac{3}{2}$$
To oznacza, że zbiorem rozwiązań nierówności będzie przedział \(\langle-\frac{3}{2},+\infty)\).
Zwróć też uwagę na to, że dzieląc (lub mnożąc) obydwie strony nierówności przez liczbę ujemną zmienia się znak nierówności.