📄 Treść zadania
Największą liczbą naturalną, która nie spełnia nierówności \(32^{10}-2^{48}\cdot x+8\cdot4^{23}\le(64^4)^2\), jest liczba:
A
\(2^{48}\)
B
\(6\)
C
\(5\)
D
\(4\)
Powinniśmy zauważyć, że wszystkie liczby z tej nierówności mają coś wspólnego z dwójką, bowiem \(32=2^5\), \(8=2^3\), \(4^2\) oraz \(64=2^6\). Korzystając teraz z działań na potęgach, całą nierówność możemy zapisać jako:
$$32^{10}-2^{48}\cdot x+8\cdot4^{23}\le{(64^4)}^2$$
$${(2^5)}^{10}-2^{48}\cdot x+2^3\cdot{(2^2)}^{23}\le{((2^6)^4)}^2$$
$$2^{50}-2^{48}\cdot x+2^3\cdot2^{46}\le2^{48}$$
$$2^{50}-2^{48}\cdot x+2^{49}\le2^{48} \quad\bigg/:2^{48}$$
$$2^2-x+2^1\le1$$
$$4-x+2\le1$$
$$6-x\le1$$
$$-x\le-5 \quad\bigg/:(-1)$$
$$x\ge5$$
Zwróć uwagę, że w ostatnim przekształceniu musieliśmy zmienić znak nierówności na przeciwny (a to dlatego, że dzieliliśmy przez liczbę ujemną \(-1\)).
Otrzymaliśmy informację, że \(x\ge5\). To oznacza, że największą liczbą naturalna, która nie spełnia tej nierówności będzie \(4\).