📄 Treść zadania
Iloraz \(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{3}}{\sqrt{6}+\sqrt{3}}\) jest równy:
A
\(3-2\sqrt{2}\)
B
\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)
C
\(3-6\sqrt{2}\)
D
\(9-2\sqrt{2}\)
Naszym zadaniem jest tak naprawdę usunięcie niewymierności z mianownika. W tym konkretnym przypadku wymnożenie licznika i mianownika przez \(\sqrt{3}\) nic nam nie da. Tutaj należy pomnożyć licznik i mianownik przez \(6-\sqrt{3}\), dzięki czemu w mianowniku będziemy mogli skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\). Przy okazji także w liczniku będziemy mogli zastosować wzór skróconego mnożenia: \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\). Całość będzie wyglądać następująco:
$$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{3}}{\sqrt{6}+\sqrt{3}}=\frac{(\sqrt{6}-\sqrt{3})\cdot(\sqrt{6}-\sqrt{3})}{(\sqrt{6}+\sqrt{3})\cdot(\sqrt{6}-\sqrt{3})}=$$
$$=\frac{(\sqrt{6}-\sqrt{3})^2}{6-3}=\frac{6-2\sqrt{18}+3}{3}=\frac{9-2\sqrt{18}}{3}=$$
$$=\frac{9-2\sqrt{9\cdot2}}{3}=\frac{9-6\sqrt{2}}{3}=3-2\sqrt{2}$$