📄 Treść zadania
Uzasadnij, że jeżeli \(a\) jest liczbą rzeczywistą różną od zera i \(a+\frac{1}{a}=3\), to \(a^2+\frac{1}{a^2}=7\).
To zadanie najprościej jest podnosząc do kwadratu obie strony pierwszej równości:
$$a+\frac{1}{a}=3 \quad\bigg/^{2}$$
$$\left(a+\frac{1}{a}\right)^2=3^2$$
$$a^2+2\cdot a\cdot\frac{1}{a}+\left(\frac{1}{a}\right)^2=9$$
$$a^2+2+\frac{1}{a^2}=9$$
$$a^2+\frac{1}{a^2}=7$$
W ten sposób udało nam się udowodnić tezę zawartą w treści zadania.