📄 Treść zadania
Wyrażenie \(||x|+1|\) dla \(x\lt0\) jest równe:
A
\(x+1\)
B
\(x-1\)
C
\(-x+1\)
D
\(-x-1\)
Aby rozwiązać to zadanie odpowiedzmy sobie na pytanie ile jest równa wartość bezwzględna z np. \(5\) oraz \(-5\). Oczywiście w obydwu przypadkach wynik będzie równy \(5\), ale jak to będzie wyglądać w zapisie matematycznym?
$$|5|=5$$
$$|-5|=-(-5)=5$$
A jak będą wyglądać wartości bezwzględne z \(x\) oraz \(-x\)?
$$|x|=x$$
$$|-x|=-(-x)=x$$
Z definicji wartości bezwzględnej oraz z tego naszego małego eksperymentu wynika, że wyciągając wartość bezwzględną z liczby ujemnej musimy postawić przed nią znak minusa (tak aby finalnie wyszła nam liczba dodatnia). Jeśli więc mamy liczbę \(-5\), to jej wartość bezwzględna jest równa \(-(-5)=5\).
Krok 1. Opuszczenie wewnętrznej wartości bezwzględnej.
Z treści zadania wiemy, że nasz \(x\lt0\), czyli opuszczając wewnętrzną wartość bezwzględną musimy dostawić minus przed \(x\), tak więc:
$$||x|+1|=|-x+1|$$
Krok 2. Opuszczenie drugiej wartości bezwzględnej.
Musimy teraz ustalić, czy liczba \(-x+1\) jest dodatnia czy ujemna. Gdyby była ujemna, to znowu musielibyśmy postawić przed nią znak minusa. Ta liczba jest jednak na pewno dodatnia, bo skoro \(x\) jest ujemny, to \(-x\) jest dodatni, a tym bardziej \(-x+1\) będzie dodatnia. Opuszczając więc drugą wartość bezwzględną nie musimy zmieniać znaków, stąd też:
$$|-x+1|=-x+1$$