„prędkość fali EM względem…” → zawsze $c$, niezależnie od ruchu źródła,
„czas w układzie rakiety / czas własny” → dylatacja czasu,
„do dwóch cyfr znaczących $\tfrac vc$” → rachunek przez $\gamma$.
📘 Teoria w pigułce
Postulaty: (1) prawa fizyki są takie same we wszystkich układach inercjalnych; (2) prędkość światła w próżni jest jednakowa dla wszystkich obserwatorów.
Przy dylatacji/skróceniu ustal, który obserwator mierzy czas własny / długość spoczynkową.
Sprawdź: zawsze $\dfrac vc\lt 1$, a $\gamma\ge1$.
⚠️ Najczęstsze pułapki
Źle
Dobrze
Dlaczego
✗ $E_k=\tfrac12mv^2$ przy $v\sim c$
✓ $E_k=(\gamma-1)mc^2$
klasyczny wzór zaniża wynik
✗ $\Delta t_0=\gamma\Delta t$
✓ $\Delta t=\gamma\Delta t_0$
czas własny jest najkrótszy
✗ $l_0=\tfrac{l}{\gamma}$
✓ $l=\tfrac{l_0}{\gamma}$
obiekt w ruchu jest krótszy
✗ prędkość światła zależy od ruchu źródła
✓ zawsze $c$
to drugi postulat
✍️ Przykład wzorcowy typ zadania 10 z matury 2026
Cząstka $\beta^-$ ma energię kinetyczną $E_{kin}=1{,}311$ MeV, a jej energia spoczynkowa wynosi $E_0=0{,}511$ MeV. Oblicz iloraz $\dfrac vc$ dla tej cząstki (wynik podaj z dokładnością do dwóch cyfr znaczących).
Zadania autentyczne. Niżej są prawdziwe zadania z arkuszy CKE — numer i punktacja zgodne z oryginalnym arkuszem. Kliknij rok, aby otworzyć cały arkusz.
Zadania autorskie. To nie są przedruki z arkuszy — ułożyliśmy je w formacie maturalnym, na wzorów z tabeli „Ślad w arkuszach CKE” powyżej. Typ, punktacja i poziom trudności odpowiadają realnym zadaniom egzaminacyjnym.
Zadania zamknięte sprawdzają się po kliknięciu odpowiedzi (jedna próba). W otwartych porównaj swoje rozwiązanie z wzorcowym i wystaw samoocenę według schematu punktowania — wynik zapisze się na koncie.
Elektron rozpędzono do prędkości $v=2{,}00\cdot10^8\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ ($c=3{,}00\cdot10^8$). Oblicz iloraz energii całkowitej do spoczynkowej oraz energię kinetyczną elektronu w keV ($E_0=511$ keV).
$\dfrac vc=\dfrac23$, więc $\gamma=\dfrac{1}{\sqrt{1-\tfrac49}}=\dfrac{1}{\sqrt{0{,}5556}}\approx1{,}342$.
Mion powstaje w górnych warstwach atmosfery i żyje średnio $2{,}2\ \mu$s w swoim układzie. Porusza się z prędkością $0{,}98c$. Oblicz, jak długo żyje w układzie związanym z Ziemią i jaką drogę przebywa.
Rakieta o długości spoczynkowej $120$ m porusza się względem Ziemi z prędkością $0{,}8c$. Oblicz jej długość zmierzoną z Ziemi oraz czas, jaki według obserwatora na Ziemi zajmie jej przelot obok punktu pomiarowego.
Wykaż, że dla cząstki o energii całkowitej $E$ i energii spoczynkowej $E_0$ zachodzi $\dfrac vc=\sqrt{1-\left(\dfrac{E_0}{E}\right)^2}$, i oblicz $\dfrac vc$ dla cząstki, której energia całkowita jest $5$ razy większa od spoczynkowej.
$E=\gamma E_0 \Rightarrow \gamma=\dfrac{E}{E_0}$.
Z definicji $\gamma$: $\dfrac{1}{\gamma^2}=1-\left(\dfrac vc\right)^2 \Rightarrow \left(\dfrac vc\right)^2=1-\dfrac{1}{\gamma^2}=1-\left(\dfrac{E_0}{E}\right)^2$. $\blacksquare$
Dla $\dfrac{E}{E_0}=5$: $\dfrac vc=\sqrt{1-0{,}04}=\sqrt{0{,}96}\approx0{,}98$.
Odpowiedź: $\dfrac vc\approx0{,}98$
Schemat punktowania:
1 pkt — związek $\gamma=\tfrac{E}{E_0}$,
2 pkt — przekształcenie definicji $\gamma$,
3 pkt — wyprowadzenie wzoru,
4 pkt — obliczenie $\approx0{,}98$.
✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 4 pkt
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.
