Skrócenie długości

1. $\gamma=\dfrac{1}{\sqrt{1-0{,}36}}=\dfrac{1}{0{,}8}=1{,}25$.

Odpowiedź: $\gamma=1{,}25$

1. $E_0=mc^2=9{,}11\cdot10^{-31}\cdot9\cdot10^{16}\approx8{,}2\cdot10^{-14}$ J.

Odpowiedź: $E_0\approx8{,}2\cdot10^{-14}$ J

1. 1. Obserwator na Ziemi stwierdzi, że zegar w rakiecie chodzi wolniej — prawda.
2. 2. Obserwator na Ziemi zmierzy mniejszą długość rakiety niż jej długość spoczynkowa — prawda.
3. 3. Astronauta w rakiecie stwierdzi, że jego własny zegar chodzi wolniej — fałsz, jego zegar chodzi normalnie.

Odpowiedź: PPF

1. $\gamma=\dfrac{1}{\sqrt{1-0{,}25}}=\dfrac{1}{\sqrt{0{,}75}}\approx1{,}1547$.
2. $E_k=(\gamma-1)E_0 \Rightarrow E_0=\dfrac{79{,}05}{0{,}1547}\approx511$ keV (to elektron).

Odpowiedź: $E_0\approx511$ keV

1. $\dfrac vc=\dfrac23$, więc $\gamma=\dfrac{1}{\sqrt{1-\tfrac49}}=\dfrac{1}{\sqrt{0{,}5556}}\approx1{,}342$.
2. $\dfrac{E}{E_0}=\gamma\approx1{,}34$.
3. $E_k=(\gamma-1)E_0=0{,}342\cdot511\approx175$ keV.

Odpowiedź: $\tfrac{E}{E_0}\approx1{,}34$; $E_k\approx175$ keV

1. $\gamma=\dfrac{1}{\sqrt{1-0{,}9604}}=\dfrac{1}{0{,}199}\approx5{,}025$.
2. $\Delta t=\gamma\Delta t_0=5{,}025\cdot2{,}2\approx11{,}1\ \mu$s.
3. $s=v\Delta t=0{,}98\cdot3\cdot10^8\cdot1{,}11\cdot10^{-5}\approx3{,}25\cdot10^3$ m.

Odpowiedź: $\Delta t\approx11{,}1\ \mu$s; $s\approx3{,}3$ km

Wskazówka: To klasyczny eksperymentalny dowód dylatacji czasu.

1. $E=E_0+E_k=2E_0$, więc $\gamma=2$.
2. $\dfrac vc=\sqrt{1-\dfrac14}=\dfrac{\sqrt3}{2}\approx0{,}866$.

Odpowiedź: $\dfrac vc\approx0{,}866$

1. $\gamma=\dfrac{1}{\sqrt{1-0{,}64}}=\dfrac{1}{0{,}6}\approx1{,}667$.
2. $l=\dfrac{l_0}{\gamma}=\dfrac{120}{1{,}667}=72$ m.
3. $t=\dfrac{l}{v}=\dfrac{72}{0{,}8\cdot3\cdot10^8}=3\cdot10^{-7}$ s $=0{,}3\ \mu$s.

Odpowiedź: $l=72$ m; $t=0{,}3\ \mu$s

1. $E=\gamma E_0 \Rightarrow \gamma=\dfrac{E}{E_0}$.
2. Z definicji $\gamma$: $\dfrac{1}{\gamma^2}=1-\left(\dfrac vc\right)^2 \Rightarrow \left(\dfrac vc\right)^2=1-\dfrac{1}{\gamma^2}=1-\left(\dfrac{E_0}{E}\right)^2$. $\blacksquare$
3. Dla $\dfrac{E}{E_0}=5$: $\dfrac vc=\sqrt{1-0{,}04}=\sqrt{0{,}96}\approx0{,}98$.

Odpowiedź: $\dfrac vc\approx0{,}98$

Zgodnie ze szczególną teorią względności ciało poruszające się z prędkością bliską prędkości światła ma — z punktu widzenia nieruchomego obserwatora — mniejszą długość w kierunku ruchu niż w spoczynku. Im bliżej prędkości światła, tym większe skrócenie. W kierunkach prostopadłych do ruchu długość się nie zmienia.

$l = l_0\sqrt{1 - \tfrac{v^2}{c^2}} = 100\cdot 0{,}6 = 60\ \text{m}$.

Obserwator zobaczy rakietę skróconą do 60 m.

Skrócenie długości staje się zauważalne dopiero przy prędkościach bliskich prędkości światła ($3\cdot 10^8\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$). Prędkości samochodów czy samolotów są od niej miliony razy mniejsze, więc czynnik $\sqrt{1 - \tfrac{v^2}{c^2}}$ jest praktycznie równy 1 — skrócenie jest niemierzalnie małe i w codziennym życiu niezauważalne.