analizować cykle: praca = pole wewnątrz cyklu, $\Delta U_{cyklu}=0$, sprawność $\eta=\dfrac{W}{Q_{pob}}$.
🔍 Jak rozpoznać zadanie
„oblicz ciepło pobrane” → $Q=\Delta U+W_{gazu}$,
„energia wewnętrzna” → zależy tylko od temperatury (dla gazu doskonałego),
„w całym cyklu” → $\Delta U=0$, więc $Q_{netto}=W_{netto}$,
„$C_V=\tfrac32R$” w danych → gaz jednoatomowy, $C_p=\tfrac52R$.
📘 Teoria w pigułce
I zasada: $\Delta U=Q+W$, gdzie $W$ — praca sił zewnętrznych nad gazem. Gdy gaz się rozpręża, $W\lt 0$, a gaz wykonuje pracę $W_{gazu}=p\Delta V$.
Energia wewnętrzna gazu doskonałego zależy wyłącznie od temperatury: $U=\tfrac32nRT$ (jednoatomowy).
Izochora: $W=0$, więc $Q=\Delta U=nC_V\Delta T$.
Izobara: $Q=nC_p\Delta T$, gdzie $C_p=C_V+R$; część ciepła idzie na pracę $p\Delta V=nR\Delta T$.
Izoterma: $\Delta U=0$, więc całe pobrane ciepło zamienia się w pracę gazu.
W cyklu zamkniętym $\Delta U=0$: praca netto równa się różnicy ciepła pobranego i oddanego; sprawność $\eta=\dfrac{W}{Q_{pob}}=1-\dfrac{Q_{odd}}{Q_{pob}}$.
∑ Najważniejsze wzory
$\Delta U=Q+W$
$\Delta U=\tfrac32nR\Delta T$
$W_{gazu}=p\Delta V$
$C_p=C_V+R$
$\eta=1-\dfrac{Q_{odd}}{Q_{pob}}$
$\eta_C=1-\dfrac{T_{ch}}{T_g}$
⚙️ Algorytm krok po kroku
Narysuj lub wyobraź przemianę na wykresie $p(V)$ — stąd odczytasz znak pracy.
Policz $\Delta T$ z równania stanu (często przez iloraz $pV$).
$\Delta U=\tfrac32nR\Delta T$; $W_{gazu}$ = pole pod wykresem.
$Q=\Delta U+W_{gazu}$ — znak dodatni oznacza ciepło pobrane.
W cyklu zsumuj przemiany i sprawdź, czy $\sum\Delta U=0$.
⚠️ Najczęstsze pułapki
Źle
Dobrze
Dlaczego
✗ $\Delta U=Q$ zawsze
✓ tylko w izochorze
w innych przemianach dochodzi praca
✗ znak pracy „na oko”
✓ rozprężanie: gaz wykonuje pracę
$W_{gazu}\gt 0$
✗ $Q=0$ w izotermie
✓ $\Delta U=0$, ale $Q=W_{gazu}$
ciepło jest wymieniane
✗ $\eta$ liczone z pracy i ciepła oddanego
✓ $\eta=\tfrac{W}{Q_{pob}}$
w mianowniku ciepło pobrane
✍️ Przykład wzorcowy typ zadania 6.3 z matury 2026
Gaz doskonały jednoatomowy ($C_V=\tfrac32R$) przechodzi ze stanu $A=(V_A=10\cdot10^{-3}\ \text{m}^3;\ p_A=2\cdot10^4\ \text{Pa})$ do stanu $B=(V_B=25\cdot10^{-3}\ \text{m}^3;\ p_B=5\cdot10^4\ \text{Pa})$ po odcinku prostej przechodzącej przez początek układu. Oblicz ciepło $Q_{AB}$ pobrane przez gaz.
Praca gazu (pole trapezu): $W_{gazu}=\dfrac{p_A+p_B}{2}(V_B-V_A)=3{,}5\cdot10^4\cdot0{,}015=525$ J.
Zmiana energii wewnętrznej: $\Delta U=\tfrac32(p_BV_B-p_AV_A)$, bo $nRT=pV$.
$\Delta U=\tfrac32(1250-200)=\tfrac32\cdot1050=1575$ J.
$Q_{AB}=\Delta U+W_{gazu}=1575+525=2100$ J.
Odpowiedź: $Q_{AB}=2100$ J
Jak CKE przyznaje punkty:
1 pkt — obliczenie pracy jako pola pod wykresem,
2 pkt — zapisanie $\Delta U=\tfrac32\Delta(pV)$,
3 pkt — obliczenie $\Delta U=1575$ J,
4 pkt — wynik $Q=2100$ J.
📊 Ślad w prawdziwych arkuszach CKE
Zadania autentyczne. Niżej są prawdziwe zadania z arkuszy CKE — numer i punktacja zgodne z oryginalnym arkuszem. Kliknij rok, aby otworzyć cały arkusz.
Zadania autorskie. To nie są przedruki z arkuszy — ułożyliśmy je w formacie maturalnym, na wzorów z tabeli „Ślad w arkuszach CKE” powyżej. Typ, punktacja i poziom trudności odpowiadają realnym zadaniom egzaminacyjnym.
Zadania zamknięte sprawdzają się po kliknięciu odpowiedzi (jedna próba). W otwartych porównaj swoje rozwiązanie z wzorcowym i wystaw samoocenę według schematu punktowania — wynik zapisze się na koncie.
Gaz doskonały jednoatomowy ogrzewany jest raz izochorycznie, raz izobarycznie — za każdym razem o taki sam przyrost temperatury. Oceń prawdziwość stwierdzeń.
Zmiana energii wewnętrznej gazu jest w obu przemianach taka sama.
W przemianie izobarycznej gaz pobiera więcej ciepła niż w izochorycznej.
W przemianie izochorycznej gaz wykonuje dodatnią pracę.
Oceń prawdziwość każdego stwierdzenia (P — prawda, F — fałsz) i wybierz odpowiedni układ.
P/P/P1. P, 2. P, 3. P
P/P/F1. P, 2. P, 3. F
P/F/P1. P, 2. F, 3. P
P/F/F1. P, 2. F, 3. F
F/P/P1. F, 2. P, 3. P
F/P/F1. F, 2. P, 3. F
F/F/P1. F, 2. F, 3. P
F/F/F1. F, 2. F, 3. F
1. Zmiana energii wewnętrznej jest w obu przypadkach taka sama — prawda ($\Delta U$ zależy tylko od $\Delta T$).
2. W przemianie izobarycznej gaz pobiera więcej ciepła — prawda (dochodzi praca).
3. W przemianie izochorycznej gaz wykonuje pracę — fałsz, $W=0$.
Silnik Carnota pracuje między zbiornikami o temperaturach $600$ K i $300$ K. Oblicz jego maksymalną sprawność oraz pracę, jaką wykona, pobierając $1200$ J ciepła.
Gaz jednoatomowy przechodzi izochorycznie ze stanu $(p_1;V_1)$ do $3p_1$, a następnie izobarycznie do $3V_1$. Wyprowadź wzór na całkowite ciepło pobrane przez gaz w obu przemianach, wyrażone przez $p_1$ i $V_1$.
Izochora: $W=0$, $\Delta U_1=\tfrac32(3p_1V_1-p_1V_1)=3p_1V_1$, więc $Q_1=3p_1V_1$.
Gaz jednoatomowy w cyklu pobiera ciepło tylko w jednej przemianie: izobarycznym rozprężaniu od $V_1$ do $2V_1$ pod ciśnieniem $p_1$. Oblicz to ciepło w jednostkach $p_1V_1$ oraz podaj, jaka jego część zamieniła się w pracę gazu.
$W_{gazu}=p_1(2V_1-V_1)=p_1V_1$.
$\Delta U=\tfrac32(2p_1V_1-p_1V_1)=1{,}5p_1V_1$.
$Q=1{,}5p_1V_1+p_1V_1=2{,}5p_1V_1$; udział pracy: $\dfrac{1}{2{,}5}=0{,}4=40\%$.
Odpowiedź: $Q=2{,}5p_1V_1$; na pracę idzie $40\%$
Schemat punktowania:
1 pkt — obliczenie pracy,
2 pkt — obliczenie $\Delta U$,
3 pkt — ciepło $2{,}5p_1V_1$,
4 pkt — udział pracy $40\%$.
✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 4 pkt
Gaz jednoatomowy przechodzi cykl: izotermiczne sprężanie w temperaturze $T_1$, izochoryczne ogrzanie i izobaryczne rozprężanie. Wykaż, że w całym cyklu zmiana energii wewnętrznej jest zerowa, i wyjaśnij, co z tego wynika dla ciepła i pracy w cyklu.
Energia wewnętrzna gazu doskonałego zależy tylko od temperatury: $U=\tfrac32nRT$.
Po zamkniętym cyklu gaz wraca do stanu początkowego, więc ma tę samą temperaturę — zatem $\Delta U=0$. $\blacksquare$
Z I zasady dla całego cyklu: $0=Q_{netto}+W$, czyli ciepło netto pobrane przez gaz równa się pracy, którą gaz wykonał.
Praca ta jest polem powierzchni zamkniętej przez cykl na wykresie $p(V)$.
Odpowiedź: $\Delta U_{cyklu}=0$, więc $Q_{netto}=W_{netto}$
Wskazówka: To jedno z najczęściej sprawdzanych rozumowań w termodynamice.
Schemat punktowania:
1 pkt — stwierdzenie, że $U$ zależy tylko od $T$,
2 pkt — powrót do stanu początkowego i wniosek $\Delta U=0$,
3 pkt — zastosowanie I zasady do cyklu,
4 pkt — interpretacja: praca = pole wewnątrz cyklu.
✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 4 pkt
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.
