Natężenie pola: $\vec E=\dfrac{\vec F}{q}$, dla ładunku punktowego $E=k\dfrac{|Q|}{r^2}$.
Zwrot $\vec E$: od ładunku dodatniego, do ujemnego. Wektory od różnych ładunków dodajemy wektorowo.
W kwadracie o boku $a$: przekątna ma długość $a\sqrt2$, więc pole od ładunku „po przekątnej” jest $2$ razy słabsze niż od sąsiedniego przy tym samym $|Q|$.
Wygodna metoda: rozłóż każdy wektor na składowe $x$ i $y$, dodaj osobno, a potem policz $E=\sqrt{E_x^2+E_y^2}$.
Linie pola zaczynają się na ładunkach dodatnich, kończą na ujemnych i nigdy się nie przecinają.
∑ Najważniejsze wzory
$F=k\dfrac{|Q_1Q_2|}{r^2}$
$E=k\dfrac{|Q|}{r^2}$
$\vec F=q\vec E$
$E=\sqrt{E_x^2+E_y^2}$
$k\approx9\cdot10^9$
⚙️ Algorytm krok po kroku
Narysuj wektory natężenia od każdego ładunku osobno (uwaga na zwroty).
Policz wartości: $E_i=k\dfrac{|Q_i|}{r_i^2}$ — sprawdź odległości (bok czy przekątna).
Rozłóż na składowe $x$, $y$ (kąty $45^\circ$ dla przekątnych).
Dodaj składowe i policz wartość wypadkową.
Zaznacz wynik na rysunku — CKE punktuje także kierunek.
⚠️ Najczęstsze pułapki
Źle
Dobrze
Dlaczego
✗ dodawanie wartości $E$ zamiast wektorów
✓ superpozycja wektorowa
prawie zawsze kosztuje punkty
✗ przekątna $=a$
✓ $a\sqrt2$, a $E$ maleje $2$ razy
$r^2=2a^2$
✗ zwrot $\vec E$ dla ładunku ujemnego „na zewnątrz”
✓ do ładunku
przyciąga ładunek próbny dodatni
✗ $E$ w środku kwadratu z 4 równymi ładunkami $\ne0$
✓ $=0$ z symetrii
warto szukać symetrii
✍️ Przykład wzorcowy typ zadania 7.2 z matury 2026
W trzech wierzchołkach kwadratu o boku $a$ umieszczono ładunki: $Q_1=+Q$ (lewy dolny), $Q_2=-Q$ (lewy górny), $Q_3=+Q$ (prawy górny). Wyznacz wartość natężenia pola elektrycznego w pustym wierzchołku $P$ (prawym dolnym) w zależności od $Q$, $a$ i stałej $k$.
Od $Q_1$ (odległość $a$): $E_1=\dfrac{kQ}{a^2}$, zwrot poziomo w prawo (od ładunku dodatniego).
Od $Q_3$ (odległość $a$): $E_3=\dfrac{kQ}{a^2}$, zwrot pionowo w dół.
Od $Q_2$ (przekątna $a\sqrt2$): $E_2=\dfrac{kQ}{2a^2}$, zwrot wzdłuż przekątnej do ładunku ujemnego, czyli składowe $\left(-\tfrac{\sqrt2}{2};+\tfrac{\sqrt2}{2}\right)$.
$E_x=\dfrac{kQ}{a^2}-\dfrac{kQ}{2a^2}\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}=\dfrac{kQ}{a^2}\left(1-\dfrac{\sqrt2}{4}\right)$, a $E_y$ ma tę samą wartość ze znakiem minus.
1 pkt — poprawne wartości i zwroty wszystkich trzech wektorów,
2 pkt — uwzględnienie odległości $a\sqrt2$ dla ładunku po przekątnej,
3 pkt — rozłożenie na składowe i ich zsumowanie,
4 pkt — poprawny wzór końcowy.
📊 Ślad w prawdziwych arkuszach CKE
Zadania autentyczne. Niżej są prawdziwe zadania z arkuszy CKE — numer i punktacja zgodne z oryginalnym arkuszem. Kliknij rok, aby otworzyć cały arkusz.
Zadania autorskie. To nie są przedruki z arkuszy — ułożyliśmy je w formacie maturalnym, na wzorów z tabeli „Ślad w arkuszach CKE” powyżej. Typ, punktacja i poziom trudności odpowiadają realnym zadaniom egzaminacyjnym.
Zadania zamknięte sprawdzają się po kliknięciu odpowiedzi (jedna próba). W otwartych porównaj swoje rozwiązanie z wzorcowym i wystaw samoocenę według schematu punktowania — wynik zapisze się na koncie.
Dwa jednakowe ładunki $+Q$ umieszczono w odległości $2a$ od siebie. Oblicz natężenie pola w punkcie leżącym dokładnie w połowie odcinka łączącego ładunki i uzasadnij wynik.
Wektory natężenia od obu ładunków mają w tym punkcie tę samą wartość $\dfrac{kQ}{a^2}$.
Zwroty są przeciwne (każdy „od” swojego ładunku), więc wektory się znoszą.
$E=0$.
Odpowiedź: $E=0$
Schemat punktowania:
1 pkt — obliczenie wartości obu natężeń,
2 pkt — wniosek o przeciwnych zwrotach i wynik $E=0$.
✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 2 pkt
Dwa ładunki $Q_1=+9\ \mu$C i $Q_2=+1\ \mu$C znajdują się w odległości $40$ cm. Oblicz, w jakiej odległości od $Q_1$ natężenie pola wypadkowego jest równe zeru.
Punkt leży między ładunkami: $\dfrac{kQ_1}{x^2}=\dfrac{kQ_2}{(0{,}4-x)^2}$.
W trzech wierzchołkach kwadratu o boku $a$ umieszczono ładunki ujemne: $-2q$ (lewy dolny), $-q$ (prawy dolny), $-2q$ (prawy górny). Wyznacz wartość natężenia pola w środku kwadratu $S$.
Odległość każdego ładunku od środka: $r^2=\dfrac{a^2}{2}$, więc $E=\dfrac{2k|Q|}{a^2}$.
Pola od dwóch ładunków $-2q$ (leżących na przekątnej po obu stronach środka) mają równe wartości $\dfrac{4kq}{a^2}$ i przeciwne zwroty — znoszą się.
Zostaje pole od $-q$: $E_S=\dfrac{2kq}{a^2}$, zwrócone do tego ładunku.
Odpowiedź: $E_S=\dfrac{2kq}{a^2}$
Schemat punktowania:
1 pkt — obliczenie odległości i natężeń od poszczególnych ładunków,
2 pkt — zauważenie, że pola od ładunków $-2q$ się znoszą,
3 pkt — wynik $\tfrac{2kq}{a^2}$,
4 pkt — podanie kierunku i zwrotu wektora.
✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 4 pkt
Kulka o masie $2$ g i ładunku $5\ \mu$C wisi na nici w jednorodnym polu elektrycznym o natężeniu poziomym $E=3000\,\tfrac{\text{N}}{\text{C}}$ ($g=10\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$). Oblicz kąt odchylenia nici od pionu.
$F_E=qE=5\cdot10^{-6}\cdot3000=0{,}015$ N; $F_g=mg=0{,}02$ N.
Wykaż, że jeżeli w dwóch sąsiednich wierzchołkach kwadratu o boku $a$ umieścimy ładunki $+Q$ i $-Q$, to wartość natężenia pola w środku kwadratu wynosi $\dfrac{2\sqrt2\,kQ}{a^2}$.
Odległość od środka do każdego z wierzchołków: $r=\dfrac{a\sqrt2}{2}$, więc $E_1=E_2=\dfrac{2kQ}{a^2}$.
Wektor od $+Q$ jest skierowany od tego ładunku, wektor od $-Q$ — do niego; oba tworzą kąt $90^\circ$ (bo wierzchołki są sąsiednie).
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.
