Gdy $p\propto V$ (odcinek przez początek układu $p(V)$), to $T\propto pV\propto V^2$.
Średnia energia kinetyczna cząsteczki: $\overline{E_k}=\tfrac32kT$ — zależy wyłącznie od temperatury, nie od rodzaju gazu.
Ciśnienie w modelu kinetycznym: $p=\tfrac13n_0m\overline{v^2}$, gdzie $n_0$ — koncentracja cząsteczek.
Praca siły parcia gazu = pole pod wykresem $p(V)$; przy izochorze praca jest zerowa.
∑ Najważniejsze wzory
$pV=nRT$
$\dfrac{p_1V_1}{T_1}=\dfrac{p_2V_2}{T_2}$
$\overline{E_k}=\tfrac32kT$
$W=p\Delta V$ (izobara)
$p=\tfrac13n_0m\overline{v^2}$
⚙️ Algorytm krok po kroku
Zamień temperatury na kelwiny i wypisz stan początkowy i końcowy.
Wskaż, która wielkość jest stała — to określa typ przemiany.
Zastosuj równanie stanu (skreślając stałą wielkość).
Przy rysowaniu cyklu zaznacz punkty i połącz je zgodnie z typem przemiany.
Pracę licz jako pole pod $p(V)$ — pamiętaj o znaku (rozprężanie: gaz wykonuje pracę).
⚠️ Najczęstsze pułapki
Źle
Dobrze
Dlaczego
✗ temperatura w $^\circ$C w równaniu Clapeyrona
✓ zawsze w kelwinach
$T[\text{K}]=t+273{,}15$
✗ $p\propto V$ oznacza izotermę
✓ izoterma to $pV=\text{const}$
$p\propto V$ daje $T\propto V^2$
✗ praca w izochorze
✓ $W=0$
$\Delta V=0$
✗ średnia $E_k$ zależy od masy cząsteczek
✓ tylko od $T$
cięższe cząsteczki są wolniejsze
✍️ Przykład wzorcowy typ zadania 6 z matury 2026
Ustalona masa gazu doskonałego przechodzi ze stanu $A=(V_A=10\cdot10^{-3}\ \text{m}^3;\ p_A=2\cdot10^4\ \text{Pa})$ do stanu $B=(V_B=25\cdot10^{-3}\ \text{m}^3;\ p_B=5\cdot10^4\ \text{Pa})$ wzdłuż odcinka prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnych. Oblicz iloraz temperatur $\dfrac{T_B}{T_A}$ oraz pracę wykonaną przez gaz.
(Zgodnie z $p\propto V$: $\dfrac{T_B}{T_A}=\left(\dfrac{V_B}{V_A}\right)^2=2{,}5^2=6{,}25$.)
Praca to pole trapezu pod wykresem: $W=\dfrac{p_A+p_B}{2}\left(V_B-V_A\right)$.
$W=\dfrac{2\cdot10^4+5\cdot10^4}{2}\cdot15\cdot10^{-3}=3{,}5\cdot10^4\cdot0{,}015=525$ J.
Odpowiedź: $\dfrac{T_B}{T_A}=6{,}25$; $W=525$ J
Jak CKE przyznaje punkty:
1 pkt — zastosowanie równania stanu do ilorazu temperatur,
2 pkt — wynik $6{,}25$,
3 pkt — rozpoznanie, że praca to pole trapezu,
4 pkt — obliczenie $W=525$ J.
📊 Ślad w prawdziwych arkuszach CKE
Zadania autentyczne. Niżej są prawdziwe zadania z arkuszy CKE — numer i punktacja zgodne z oryginalnym arkuszem. Kliknij rok, aby otworzyć cały arkusz.
Zadania autorskie. To nie są przedruki z arkuszy — ułożyliśmy je w formacie maturalnym, na wzorów z tabeli „Ślad w arkuszach CKE” powyżej. Typ, punktacja i poziom trudności odpowiadają realnym zadaniom egzaminacyjnym.
Zadania zamknięte sprawdzają się po kliknięciu odpowiedzi (jedna próba). W otwartych porównaj swoje rozwiązanie z wzorcowym i wystaw samoocenę według schematu punktowania — wynik zapisze się na koncie.
Ustalona masa gazu doskonałego przechodzi przemianę, w której ciśnienie jest wprost proporcjonalne do objętości. Wtedy temperatura bezwzględna gazu jest proporcjonalna do:
A$V$
B$\sqrt{V}$
C$V^2$
D$\tfrac1V$
$T\propto pV$, a skoro $p\propto V$, to $T\propto V\cdot V=V^2$.
Odpowiedź:C
Dlaczego nie pozostałe? Podstaw $p=cV$ do równania stanu.
W przemianie izochorycznej ciśnienie gazu jest wprost proporcjonalne do temperatury bezwzględnej.
W przemianie izobarycznej objętość gazu jest wprost proporcjonalna do średniej energii kinetycznej cząsteczek.
W przemianie izotermicznej średnia energia kinetyczna cząsteczek rośnie.
Oceń prawdziwość każdego stwierdzenia (P — prawda, F — fałsz) i wybierz odpowiedni układ.
P/P/P1. P, 2. P, 3. P
P/P/F1. P, 2. P, 3. F
P/F/P1. P, 2. F, 3. P
P/F/F1. P, 2. F, 3. F
F/P/P1. F, 2. P, 3. P
F/P/F1. F, 2. P, 3. F
F/F/P1. F, 2. F, 3. P
F/F/F1. F, 2. F, 3. F
1. W przemianie izochorycznej ciśnienie jest wprost proporcjonalne do temperatury bezwzględnej — prawda.
2. W przemianie izobarycznej objętość jest wprost proporcjonalna do średniej energii kinetycznej cząsteczek — prawda ($V\propto T$, $\overline{E_k}\propto T$).
3. W przemianie izotermicznej średnia energia kinetyczna cząsteczek rośnie — fałsz, jest stała.
W naczyniu o objętości $0{,}02\ \text{m}^3$ znajduje się $0{,}5$ mola gazu doskonałego w temperaturze $300$ K. Oblicz ciśnienie gazu ($R=8{,}31\,\tfrac{\text{J}}{\text{mol}\cdot\text{K}}$).
Gaz doskonały rozpręża się izobarycznie pod ciśnieniem $2\cdot10^5$ Pa od objętości $1\ \text{m}^3$ do $3\ \text{m}^3$. Oblicz pracę wykonaną przez gaz oraz stosunek temperatur końcowej do początkowej.
Gaz przechodzi ze stanu $(p_1=10^5\ \text{Pa};\ V_1=2\ \text{m}^3;\ T_1=300\ \text{K})$ do stanu $(p_2=1{,}5\cdot10^5\ \text{Pa};\ V_2=3\ \text{m}^3)$. Oblicz temperaturę końcową.
$\dfrac{p_1V_1}{T_1}=\dfrac{p_2V_2}{T_2}$.
$T_2=T_1\cdot\dfrac{p_2V_2}{p_1V_1}=300\cdot\dfrac{4{,}5\cdot10^5}{2\cdot10^5}=675$ K.
Odpowiedź: $T_2=675$ K
Schemat punktowania:
1 pkt — zapisanie równania stanu,
2 pkt — podstawienie danych,
3 pkt — wynik $675$ K.
✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 3 pkt
Gaz doskonały przechodzi cykl: izochoryczne ogrzanie od $(p_1,V_1)$ do $3p_1$, izobaryczne rozprężenie do $3V_1$, a następnie powrót do stanu początkowego. Oblicz pracę wykonaną przez gaz w całym cyklu w jednostkach $p_1V_1$ (przyjmij powrót po odcinku prostym na wykresie $p(V)$).
Izochora: $W_1=0$.
Izobara: $W_2=3p_1\cdot(3V_1-V_1)=6p_1V_1$.
Powrót po odcinku od $(3V_1;3p_1)$ do $(V_1;p_1)$: $W_3=-\dfrac{3p_1+p_1}{2}\cdot2V_1=-4p_1V_1$.
$W=0+6p_1V_1-4p_1V_1=2p_1V_1$ (pole wewnątrz cyklu).
Odpowiedź: $W=2p_1V_1$
Schemat punktowania:
1 pkt — zerowa praca w izochorze,
2 pkt — praca w izobarze,
3 pkt — praca ujemna przy powrocie,
4 pkt — wynik $2p_1V_1$.
✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 4 pkt
Oblicz średnią energię kinetyczną cząsteczki gazu doskonałego w temperaturze $27^\circ$C oraz stosunek średnich prędkości kwadratowych cząsteczek helu ($M=4\,\tfrac{\text{g}}{\text{mol}}$) i tlenu ($M=32\,\tfrac{\text{g}}{\text{mol}}$) w tej samej temperaturze ($k=1{,}38\cdot10^{-23}\,\tfrac{\text{J}}{\text{K}}$).
$\overline{E_k}=\tfrac32kT=1{,}5\cdot1{,}38\cdot10^{-23}\cdot300=6{,}21\cdot10^{-21}$ J.
Ta sama energia: $\tfrac12m_1v_1^2=\tfrac12m_2v_2^2 \Rightarrow \dfrac{v_1}{v_2}=\sqrt{\dfrac{m_2}{m_1}}$.
Gaz doskonały przechodzi przemianę, w której $p\propto V$, od stanu $A$ o objętości $V_1$ do stanu $B$ o objętości $2V_1$. Wykaż, że temperatura wzrasta czterokrotnie, i oblicz stosunek średnich prędkości kwadratowych cząsteczek w obu stanach.
$p=cV$, więc $T=\dfrac{pV}{nR}=\dfrac{cV^2}{nR}\propto V^2$.
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.
