Przy ilorazie $\tfrac{\lambda_B}{\lambda_A}$ napisz oba wyrażenia i podziel — $f_0$ się skróci.
Rozwiąż równanie względem $v_{źr}$.
Sprawdź jakościowo: czy wynik zgadza się z kierunkiem zmiany częstotliwości?
⚠️ Najczęstsze pułapki
Źle
Dobrze
Dlaczego
✗ zmiana $f$ zależy od przyśpieszenia źródła
✓ zależy od prędkości
ale zmiana prędkości zmienia $f$ w czasie
✗ $I\propto\tfrac1r$
✓ $I\propto\tfrac{1}{r^2}$
powierzchnia kuli rośnie z $r^2$
✗ znak w mianowniku „na czuja”
✓ sprawdź kierunkiem zmiany $f$
zbliżanie = wyższy dźwięk
✗ $+10$ dB to dwa razy głośniej
✓ to $10$ razy większe natężenie
skala logarytmiczna
✍️ Przykład wzorcowy typ zadania 4.2 z matury 2024
Ambulans jedzie ruchem jednostajnym i emituje dźwięk o częstotliwości $f_0$. Obserwator $A$ stoi przed ambulansem, obserwator $B$ — za nim. Stosunek długości fal odbieranych przez obserwatorów wynosi $\dfrac{\lambda_B}{\lambda_A}=1{,}2$. Prędkość dźwięku w powietrzu $v=340\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$. Oblicz prędkość ambulansu.
Przed ambulansem (zbliżanie): $\lambda_A=\dfrac{v-u}{f_0}$; za ambulansem: $\lambda_B=\dfrac{v+u}{f_0}$.
1 pkt — zapisanie obu długości fal ze wzorów Dopplera,
2 pkt — zapisanie ilorazu i skrócenie $f_0$,
3 pkt — rozwiązanie równania,
4 pkt — wynik $\approx31\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ z jednostką.
📊 Ślad w prawdziwych arkuszach CKE
Zadania autentyczne. Niżej są prawdziwe zadania z arkuszy CKE — numer i punktacja zgodne z oryginalnym arkuszem. Kliknij rok, aby otworzyć cały arkusz.
Zadania autorskie. To nie są przedruki z arkuszy — ułożyliśmy je w formacie maturalnym, na wzorów z tabeli „Ślad w arkuszach CKE” powyżej. Typ, punktacja i poziom trudności odpowiadają realnym zadaniom egzaminacyjnym.
Zadania zamknięte sprawdzają się po kliknięciu odpowiedzi (jedna próba). W otwartych porównaj swoje rozwiązanie z wzorcowym i wystaw samoocenę według schematu punktowania — wynik zapisze się na koncie.
Ambulans z włączoną syreną o częstotliwości $f_0$ porusza się po prostej drodze. Oceń prawdziwość stwierdzeń.
Obserwator, od którego ambulans się oddala, słyszy dźwięk o częstotliwości mniejszej od $f_0$.
Gdy oddalający się ambulans hamuje, obserwator słyszy dźwięk o malejącej częstotliwości.
Gdy oddalający się ambulans przyśpiesza, obserwator słyszy dźwięk o malejącej częstotliwości.
Oceń prawdziwość każdego stwierdzenia (P — prawda, F — fałsz) i wybierz odpowiedni układ.
P/P/P1. P, 2. P, 3. P
P/P/F1. P, 2. P, 3. F
P/F/P1. P, 2. F, 3. P
P/F/F1. P, 2. F, 3. F
F/P/P1. F, 2. P, 3. P
F/P/F1. F, 2. P, 3. F
F/F/P1. F, 2. F, 3. P
F/F/F1. F, 2. F, 3. F
1. Obserwator, od którego ambulans się oddala, słyszy dźwięk o $f\lt f_0$ — prawda.
2. Gdy oddalający się ambulans hamuje, obserwator słyszy dźwięk o malejącej częstotliwości — fałsz: przy mniejszej prędkości oddalania częstotliwość rośnie (zbliża się do $f_0$).
3. Gdy oddalający się ambulans przyśpiesza, słyszana częstotliwość maleje — prawda.
Nieruchome źródło emituje dźwięk o częstotliwości $600$ Hz. Obserwator zbliża się do źródła z prędkością $34\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ ($v=340\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$). Oblicz częstotliwość odbieraną przez obserwatora.
Źródło emitujące dźwięk o częstotliwości $500$ Hz zbliża się do nieruchomego obserwatora z prędkością $20\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ ($v=340\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$). Oblicz częstotliwość odbieraną przez obserwatora i długość fali docierającej do niego.
$f=f_0\dfrac{v}{v-u}=500\cdot\dfrac{340}{320}=531{,}25$ Hz.
$\lambda=\dfrac{v}{f}=\dfrac{340}{531{,}25}=0{,}64$ m (albo $\lambda=\tfrac{v-u}{f_0}=\tfrac{320}{500}$).
Odpowiedź: $f\approx531$ Hz; $\lambda=0{,}64$ m
Schemat punktowania:
1 pkt — wzór dla ruchomego źródła,
2 pkt — częstotliwość $\approx531$ Hz,
3 pkt — długość fali $0{,}64$ m.
✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 3 pkt
Poziom natężenia dźwięku w odległości $1$ m od źródła wynosi $80$ dB. Oblicz natężenie dźwięku w tym punkcie oraz poziom natężenia w odległości $10$ m ($I_0=10^{-12}\,\tfrac{\text{W}}{\text{m}^2}$).
Dwa głośniki emitują zgodnie w fazie falę o częstotliwości $850$ Hz ($v=340\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$). Oblicz najmniejszą niezerową różnicę dróg, dla której w danym punkcie nastąpi wzmocnienie, oraz taką, dla której nastąpi wygaszenie.
$\lambda=\dfrac{340}{850}=0{,}4$ m.
Wzmocnienie: $\Delta r=k\lambda$, najmniejsze niezerowe $\Delta r=0{,}4$ m.
Wygaszenie: $\Delta r=\left(k+\tfrac12\right)\lambda$, najmniejsze $\Delta r=0{,}2$ m.
Odpowiedź: wzmocnienie: $0{,}4$ m; wygaszenie: $0{,}2$ m
Schemat punktowania:
1 pkt — obliczenie długości fali,
2 pkt — warunek wzmocnienia i wynik,
3 pkt — warunek wygaszenia i wynik.
✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 3 pkt
Samochód jadący z prędkością $u$ mija nieruchomego obserwatora, emitując dźwięk o częstotliwości $f_0=400$ Hz. Obserwator słyszy najpierw $440$ Hz, a po minięciu — $f_2$. Oblicz $u$ oraz $f_2$ ($v=340\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$).
Sonda oddala się od Ziemi i wysyła falę elektromagnetyczną o częstotliwości $f_0=3{,}00$ GHz. Na Ziemi odebrano falę o częstotliwości mniejszej o $75$ kHz. Oblicz prędkość sondy względem Ziemi ($c=3\cdot10^8\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$; dla $v\ll c$ przyjmij $\dfrac{\Delta f}{f_0}\approx\dfrac{v}{c}$).
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.
