„struna zamocowana na obu końcach” → węzły na końcach, $L=n\tfrac\lambda2$,
„wąska szczelina” → dyfrakcja: za szczeliną fala kolista (półkola).
📘 Teoria w pigułce
$v=\lambda f$; przy przejściu między ośrodkami $f$ jest zachowana, więc $\dfrac{\lambda_1}{\lambda_2}=\dfrac{v_1}{v_2}$.
Powierzchnie falowe są prostopadłe do kierunku rozchodzenia się fali; odległość między sąsiednimi to $\lambda$.
Prawo załamania fal: $\dfrac{\sin\alpha}{\sin\beta}=\dfrac{v_1}{v_2}$ — fala wchodząca do ośrodka o mniejszej prędkości załamuje się do normalnej.
Interferencja: wzmocnienie dla $\Delta r=k\lambda$, wygaszenie dla $\Delta r=\left(k+\tfrac12\right)\lambda$ (źródła zgodne w fazie).
Fala stojąca na strunie zamocowanej na obu końcach: $L=n\dfrac{\lambda}{2}$, czyli $f_n=\dfrac{n}{2L}\sqrt{\dfrac{F}{\mu}}$, gdzie $\mu=\dfrac mL$.
Dyfrakcja: im węższa szczelina w porównaniu z $\lambda$, tym silniejsze ugięcie; za bardzo wąską szczeliną fala jest kolista.
∑ Najważniejsze wzory
$v=\lambda f$
$\dfrac{\lambda_1}{\lambda_2}=\dfrac{v_1}{v_2}$
$\dfrac{\sin\alpha}{\sin\beta}=\dfrac{v_1}{v_2}$
$\Delta r=k\lambda$ (wzmocnienie)
$L=n\dfrac{\lambda}{2}$
$v=\sqrt{\dfrac{F}{\mu}}$
⚙️ Algorytm krok po kroku
Wypisz, co jest stałe: przy zmianie ośrodka — częstotliwość.
Policz $\lambda$ z odległości powierzchni falowych albo z $v=\lambda f$.
Do interferencji: policz różnicę dróg i podziel przez $\lambda$ — wynik całkowity czy połówkowy?
Do fal stojących: narysuj mod, policz ile połówek fali mieści się na długości.
Rysunki: zachowaj odstępy między powierzchniami falowymi proporcjonalne do $\lambda$.
⚠️ Najczęstsze pułapki
Źle
Dobrze
Dlaczego
✗ zmiana $f$ przy przejściu do innego ośrodka
✓ $f=\text{const}$
zmienia się $\lambda$
✗ $\Delta r=\lambda$ jako wygaszenie
✓ to wzmocnienie
wygaszenie dla $\tfrac{\lambda}{2}$
✗ $L=n\lambda$ dla struny
✓ $L=n\tfrac{\lambda}{2}$
na końcach są węzły
✗ w rysunku powierzchnie falowe równoległe do kierunku ruchu
✓ prostopadłe
to czoła fali
✍️ Przykład wzorcowy typ zadania 4 z matury 2026
Fala ultradźwiękowa biegnie w ośrodku $\mathcal{O}_1$ z prędkością $v_1$ i przechodzi do ośrodka $\mathcal{O}_2$, w którym $v_1=2v_2$. Dziewięć powierzchni falowych w ośrodku $\mathcal{O}_1$ pokonuje odległość $9\lambda_1=13{,}5$ cm w czasie $\Delta t=0{,}07$ ms. Oblicz $\lambda_1$, prędkość $v_1$, częstotliwość fali oraz iloraz $\dfrac{\lambda_1}{\lambda_2}$.
$\lambda_1=\dfrac{13{,}5\ \text{cm}}{9}=1{,}5$ cm $=0{,}015$ m.
1 pkt — obliczenie $\lambda_1$ z odległości powierzchni falowych,
2 pkt — obliczenie prędkości fali,
3 pkt — obliczenie częstotliwości,
4 pkt — uzasadnienie stałości $f$ i iloraz $\tfrac{\lambda_1}{\lambda_2}=2$.
📊 Ślad w prawdziwych arkuszach CKE
Zadania autentyczne. Niżej są prawdziwe zadania z arkuszy CKE — numer i punktacja zgodne z oryginalnym arkuszem. Kliknij rok, aby otworzyć cały arkusz.
Zadania autorskie. To nie są przedruki z arkuszy — ułożyliśmy je w formacie maturalnym, na wzorów z tabeli „Ślad w arkuszach CKE” powyżej. Typ, punktacja i poziom trudności odpowiadają realnym zadaniom egzaminacyjnym.
Zadania zamknięte sprawdzają się po kliknięciu odpowiedzi (jedna próba). W otwartych porównaj swoje rozwiązanie z wzorcowym i wystaw samoocenę według schematu punktowania — wynik zapisze się na koncie.
Fala dźwiękowa o długości $0{,}5$ m w powietrzu ($v_p=340\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$) przechodzi do wody, gdzie prędkość dźwięku wynosi $1450\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$. Oblicz długość tej fali w wodzie.
$f=\dfrac{340}{0{,}5}=680$ Hz i nie zmienia się.
$\lambda_w=\dfrac{1450}{680}\approx2{,}13$ m.
Odpowiedź: $\lambda_w\approx2{,}13$ m
✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 2 pkt
Dwa głośniki drgające zgodnie w fazie emitują fale o częstotliwości $850$ Hz ($v=340\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$). Punkt $A$ jest oddalony od nich o $10{,}5$ m i $11{,}5$ m. Ustal, czy w punkcie $A$ nastąpi wzmocnienie, czy wygaszenie dźwięku.
$\lambda=\dfrac{340}{850}=0{,}4$ m.
$\Delta r=11{,}5-10{,}5=1$ m $=2{,}5\lambda$.
Różnica dróg jest nieparzystą wielokrotnością $\tfrac\lambda2$, więc nastąpi wygaszenie.
Odpowiedź: wygaszenie ($\Delta r=2{,}5\lambda$)
Wskazówka: Nie zgaduj: policz $\Delta r/\lambda$ — liczba całkowita to wzmocnienie, połówkowa to wygaszenie.
Schemat punktowania:
1 pkt — obliczenie $\lambda=0{,}4$ m,
2 pkt — obliczenie $\Delta r$ i porównanie z $\lambda$,
3 pkt — wniosek o wygaszeniu.
✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 3 pkt
Fala biegnąca w ośrodku o prędkości $v_1=1500\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ pada na granicę ośrodków pod kątem $30^\circ$ i przechodzi do ośrodka o prędkości $v_2=1000\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$. Oblicz kąt załamania.
Dwie identyczne struny o długości swobodnej $L_0$ rozciągnięto: pierwszą do $L_1=1{,}01L_0$, drugą do $L_2=1{,}03L_0$. Siła napinająca jest proporcjonalna do wydłużenia. Oblicz iloraz $\dfrac{f_2}{f_1}$ częstotliwości tonów podstawowych (pomiń zmianę gęstości liniowej).
Fala o długości $\lambda_1=1{,}5$ cm przechodzi z ośrodka $\mathcal{O}_1$ do ośrodka $\mathcal{O}_2$, w którym prędkość jest dwa razy mniejsza. Oblicz długość fali w drugim ośrodku i uzasadnij, dlaczego częstotliwość się nie zmienia.
Częstotliwość jest narzucona przez źródło: każda „porcja” drgań, która dobiega do granicy, przechodzi dalej — liczba drgań na sekundę musi być taka sama po obu stronach.
Skoro $v=\lambda f$ i $f=\text{const}$, to $\dfrac{\lambda_2}{\lambda_1}=\dfrac{v_2}{v_1}=\dfrac12$.
$\lambda_2=0{,}75$ cm.
Odpowiedź: $\lambda_2=0{,}75$ cm
Schemat punktowania:
1 pkt — stwierdzenie stałości częstotliwości,
2 pkt — uzasadnienie (ciągłość drgań na granicy),
3 pkt — obliczenie $\lambda_2=0{,}75$ cm.
✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 3 pkt
W rurze otwartej z obu stron o długości $0{,}85$ m powstaje fala stojąca. Oblicz częstotliwość tonu podstawowego i pierwszego tonu wyższego ($v=340\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$).
W rurze otwartej na obu końcach są strzałki, więc $L=n\dfrac{\lambda}{2}$, czyli $f_n=\dfrac{nv}{2L}$.
$f_1=\dfrac{340}{1{,}7}=200$ Hz.
$f_2=2f_1=400$ Hz.
Odpowiedź: $f_1=200$ Hz; $f_2=400$ Hz
Schemat punktowania:
1 pkt — warunek na falę stojącą w rurze otwartej,
2 pkt — wzór $f_n=\tfrac{nv}{2L}$,
3 pkt — $f_1=200$ Hz,
4 pkt — $f_2=400$ Hz.
✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 4 pkt
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.
