„minimalna prędkość na szczycie pętli” → w granicznym przypadku $N=0$, czyli $mg=\tfrac{mv^2}{r}$,
„jaka jest zmiana wektora prędkości” → różnica wektorów, a nie różnica wartości.
📘 Teoria w pigułce
$v=\dfrac{2\pi r}{T}=\omega r$, $a_d=\dfrac{v^2}{r}=\omega^2r$ — przyśpieszenie skierowane do środka.
Siła dośrodkowa nie jest nową siłą: to wypadkowa sił realnych skierowana do środka okręgu.
Najniższy punkt okręgu pionowego: $F_n-mg=\dfrac{mv^2}{r}$, więc $F_n=m\left(g+\dfrac{v^2}{r}\right)$.
Najwyższy punkt: $F_n+mg=\dfrac{mv^2}{r}$, więc $F_n=m\left(\dfrac{v^2}{r}-g\right)$; nić jest napięta, gdy $v^2\ge gr$.
Na zakręcie poziomym rolę siły dośrodkowej pełni tarcie: $\mu mg\ge\dfrac{mv^2}{r}$.
W ruchu jednostajnym po okręgu wartość prędkości jest stała, ale wektor się zmienia — dlatego przyśpieszenie nie jest zerowe.
∑ Najważniejsze wzory
$a_d=\dfrac{v^2}{r}=\omega^2r$
$F_d=\dfrac{mv^2}{r}$
$v=\dfrac{2\pi r}{T}$
$\omega=\dfrac{2\pi}{T}=2\pi f$
$v_{min}=\sqrt{gr}$ (szczyt pętli)
⚙️ Algorytm krok po kroku
Zaznacz punkt toru i narysuj wszystkie realne siły.
Skieruj oś do środka okręgu i zapisz $\sum F_{do\ środka}=\dfrac{mv^2}{r}$.
Podstaw dane; przy „minimalnej prędkości” przyjmij, że siła reakcji/napięcia znika.
Jeśli trzeba, dołóż zasadę zachowania energii między punktami toru.
Sprawdź jednostki i to, czy wynik jest większy od zera.
⚠️ Najczęstsze pułapki
Źle
Dobrze
Dlaczego
✗ siła odśrodkowa działająca na ciało
✓ w układzie inercjalnym jej nie ma
to siła pozorna
✗ $F_n=mg$ w najniższym punkcie
✓ $F_n=m\left(g+\tfrac{v^2}{r}\right)$
nić musi też „zakręcać” ciałem
✗ zmiana wartości prędkości zamiast wektora
✓ $\Delta\vec v=\vec v_2-\vec v_1$
rysuj wektory
✗ $a=0$ w ruchu jednostajnym po okręgu
✓ $a_d=\tfrac{v^2}{r}$
zmienia się kierunek prędkości
✍️ Przykład wzorcowy typ zadania 2.3 z matury 2026
Ciało o masie $m$ zawieszone na nici o długości $l$ porusza się po okręgu w płaszczyźnie pionowej. Stosunek wartości prędkości w najniższym i najwyższym punkcie wynosi $\dfrac{v_{max}}{v_{min}}=\sqrt3$. Wyznacz stosunek $\dfrac{F_{n\,max}}{F_{n\,min}}$ sił napięcia nici w tych punktach.
Z zasady zachowania energii: $\tfrac12v_{max}^2=\tfrac12v_{min}^2+g\cdot2l$, a z warunku $v_{max}^2=3v_{min}^2$.
Stąd $3v_{min}^2=v_{min}^2+4gl \Rightarrow v_{min}^2=2gl$, $v_{max}^2=6gl$.
$F_{n\,max}=m(g+6g)=7mg$, $F_{n\,min}=m(2g-g)=mg$, więc stosunek wynosi $7$.
Odpowiedź: $\dfrac{F_{n\,max}}{F_{n\,min}}=7$
Jak CKE przyznaje punkty:
1 pkt — równania II zasady dynamiki w obu punktach,
2 pkt — zastosowanie zasady zachowania energii,
3 pkt — obliczenie $v_{min}^2=2gl$ i $v_{max}^2=6gl$,
4 pkt — wynik $7$.
📊 Ślad w prawdziwych arkuszach CKE
Zadania autentyczne. Niżej są prawdziwe zadania z arkuszy CKE — numer i punktacja zgodne z oryginalnym arkuszem. Kliknij rok, aby otworzyć cały arkusz.
Zadania autorskie. To nie są przedruki z arkuszy — ułożyliśmy je w formacie maturalnym, na wzorów z tabeli „Ślad w arkuszach CKE” powyżej. Typ, punktacja i poziom trudności odpowiadają realnym zadaniom egzaminacyjnym.
Zadania zamknięte sprawdzają się po kliknięciu odpowiedzi (jedna próba). W otwartych porównaj swoje rozwiązanie z wzorcowym i wystaw samoocenę według schematu punktowania — wynik zapisze się na koncie.
Samochód pokonuje poziomy zakręt o promieniu $50$ m. Współczynnik tarcia opon o jezdnię wynosi $0{,}8$ ($g=10\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$). Maksymalna bezpieczna prędkość to:
Kulka o masie $0{,}5$ kg na nici o długości $1$ m zatacza okrąg w płaszczyźnie poziomej z prędkością $4\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$. Oblicz siłę napięcia nici (nić traktuj jako poziomą).
$F_n=\dfrac{mv^2}{r}=\dfrac{0{,}5\cdot16}{1}=8$ N.
Odpowiedź: $F_n=8$ N
Schemat punktowania:
1 pkt — zapisanie $F_n=\tfrac{mv^2}{r}$,
2 pkt — wynik $8$ N.
✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 2 pkt
Ciało o masie $0{,}4$ kg porusza się po okręgu w płaszczyźnie pionowej o promieniu $0{,}5$ m. W najwyższym punkcie ma prędkość $4\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ ($g=10\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$). Oblicz siłę napięcia nici w tym punkcie.
W najwyższym punkcie: $F_n+mg=\dfrac{mv^2}{r}$.
$F_n=0{,}4\left(\dfrac{16}{0{,}5}-10\right)=0{,}4\cdot22=8{,}8$ N.
Odpowiedź: $F_n=8{,}8$ N
Schemat punktowania:
1 pkt — równanie z uwzględnieniem obu sił,
2 pkt — podstawienie wartości,
3 pkt — wynik $8{,}8$ N.
✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 3 pkt
Oblicz najmniejszą prędkość, z jaką kulka musi przechodzić przez najwyższy punkt pętli o promieniu $0{,}8$ m, aby nie oderwać się od toru ($g=10\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$). Podaj, z jakiej minimalnej wysokości musi wystartować (bez tarcia).
Warunek graniczny: siła nacisku toru znika, więc $mg=\dfrac{mv^2}{r} \Rightarrow v=\sqrt{gr}=\sqrt{8}\approx2{,}83\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$.
Ciało o masie $m$ zawieszone na nici o długości $l$ wychylono o kąt $60^\circ$ od pionu i puszczono. Oblicz siłę napięcia nici w najniższym punkcie toru, wyrażając wynik przez $m$ i $g$.
Ciało porusza się ruchem jednostajnym po okręgu o promieniu $r$ z prędkością o wartości $v$. Wykaż, że wartość zmiany wektora prędkości po przebyciu ćwiartki okręgu jest równa $v\sqrt2$, i wyjaśnij, dlaczego wartość prędkości pozostaje stała.
Po ćwiartce okręgu wektory $\vec v_1$ i $\vec v_2$ są prostopadłe i mają tę samą długość $v$.
$\Delta\vec v=\vec v_2-\vec v_1$ jest przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych $v$: $|\Delta\vec v|=\sqrt{v^2+v^2}=v\sqrt2$. $\blacksquare$
Wartość prędkości nie zmienia się, bo siła (i przyśpieszenie) są prostopadłe do prędkości — nie wykonują pracy.
Odpowiedź: $|\Delta\vec v|=v\sqrt2$
Wskazówka: CKE prosi zwykle o rysunek — bez narysowanego $\Delta\vec v$ punktu nie ma.
Schemat punktowania:
1 pkt — zauważenie prostopadłości wektorów,
2 pkt — poprawne odjęcie wektorów,
3 pkt — wynik $v\sqrt2$,
4 pkt — uzasadnienie stałości wartości prędkości.
✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 4 pkt
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.
