Dane są dwie liczby: \(x=\sqrt{2}-1\) oraz \(y=1+\sqrt{2}\).



Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe. Liczba \(x-y\) jest liczbą całkowitą.
Liczba \(x\cdot y\) jest liczbą naturalną.

Liczba \(x-y\) jest liczbą całkowitą.

Odpowiedź:      

1) PRAWDA

2) PRAWDA

Rozwiązanie:      
Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania. Musimy odjąć od siebie te dwie liczby, zatem: $$\sqrt{2}-1-(1+\sqrt{2})=\sqrt{2}-1-1-\sqrt{2}=-2$$ \(-2\) jest liczbą całkowitą, więc zdanie jest prawdą. Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania. Tym razem nasze dwie liczby musimy pomnożyć, otrzymując: $$(\sqrt{2}-1)\cdot(1+\sqrt{2})=\sqrt{2}+2-1-\sqrt{2}=1$$ \(1\) jak najbardziej jest liczbą naturalną, czyli zdanie jest prawdą. Tak na marginesie, to zamieniając miejscami wyrazy w drugim nawiasie (a możemy to zrobić, bo dodawanie jest przemienne), otrzymalibyśmy wzór skróconego mnożenia \((a-b)\cdot(a+b)=a^2-b^2\) i całość moglibyśmy zapisać jako: $$(\sqrt{2}-1)\cdot(\sqrt{2}+1)=(\sqrt{2})^2-1^2=2-1=1$$

Teoria:      
W trakcie opracowania