Uzasadnij, że prostokąt o przekątnej długości \(8cm\) i szerokości \(4\sqrt{2}cm\) jest kwadratem.

Odpowiedź:      

Udowodniono obliczając długość drugiego boku prostokąta lub też korzystając z własności przekątnych kwadratu.

Rozwiązanie:      
I sposób: Korzystając z Twierdzenia Pitagorasa: Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego. Krok 2. Obliczenie szerokości prostokąta. Jeżeli uda nam się udowodnić, że bok o nieznanej nam długości \(b\) ma taką samą miarę co bok o długości \(a=4\sqrt{2}\), to będziemy mogli z całą pewnością stwierdzić, że ten prostokąt jest kwadratem. W tym celu skorzystamy po prostu z Twierdzenia Pitagorasa: $$a^2+b^2=c^2 \           ,\ (4\sqrt{2})^2+b^2=8^2 \           ,\ 16\cdot2+b^2=64 \           ,\ 32+b^2=64 \           ,\ b^2=32 \           ,\ b=\sqrt{32}=\sqrt{16\cdot2}=4\sqrt{2}$$ Krok 3. Zakończenie dowodzenia. Udało nam się wykazać, że boki oznaczone jako \(a\) oraz \(b\) mają identyczną miarę, zatem ten prostokąt jest kwadratem. II sposób: Korzystając z własności przekątnych kwadratu. Z własności kwadratów wynika, że kwadrat o boku \(a\) ma przekątną o długości \(a\sqrt{2}\). Jeżeli więc pokażemy, że w przypadku tego prostokąta zachodzi taka zależność, to będziemy mogli stwierdzić, że faktycznie jest on kwadratem. W związku z tym skoro \(a=4\sqrt{2}\) to przekątna kwadratu powinna mieć długość: $$a\sqrt{2}=4\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=4\cdot2=8$$ Otrzymany wynik jest dokładnie taki sam jak długość przekątnej podanej w treści zadania, zatem możemy z całą pewnością stwierdzić, iż ten prostokąt jest kwadratem.

Teoria:      
W trakcie opracowania