Na krótszym boku prostokąta zbudowano trójkąt równoboczny o obwodzie \(18 cm\), a na dłuższym boku prostokąta zbudowano kwadrat o polu równym \(64 cm^2\).



Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe. Pole prostokąta jest o \(16 cm^2\) mniejsze od pola kwadratu powstałego na dłuższym boku prostokąta.
Obwód prostokąta jest o \(10 cm\) dłuższy od obwodu trójkąta równobocznego zbudowanego na krótszym boku prostokąta.

Pole prostokąta jest o \(16 cm^2\) mniejsze od pola kwadratu powstałego na dłuższym boku prostokąta.

Odpowiedź:      

1) PRAWDA

2) PRAWDA

Rozwiązanie:      
Krok 1. Obliczenie długości boków prostokąta. Trójkąt równoboczny ma wszystkie boki równej długości, zatem skoro obwód tej figury wynosi \(18cm\), to bok tego trójkąta będzie mieć długość: $$18cm:3=6cm$$ Tym samym krótszy bok prostokąta ma długość \(6cm\). Teraz obliczmy długość boku kwadratu. Jeżeli pole tego kwadratu wynosi \(64cm^2\), to korzystając ze wzoru na pole kwadratu wyjdzie nam, że: $$P=a^2 \           ,\ 64cm^2=a^2 \           ,\ a=8cm \quad\lor\quad a=-8cm$$ Długość boku kwadratu nie może być ujemna, więc zostaje nam \(a=8cm\). Tym samym dłuższy bok prostokąta ma długość \(8cm\). Krok 2. Ocena prawdziwości pierwszego zdania. Nasz prostokąt ma wymiary \(6cm\times8cm\). Jego pole powierzchni będzie więc równe: $$P=6cm\cdot8cm \           ,\ P=48cm^2$$ Pole kwadratu było równe \(64cm^2\), czyli faktycznie pole prostokąta jest o \(16cm^2\) mniejsze (bo \(64-48=16\)). Zdanie jest więc prawdą. Krok 3. Ocena prawdziwości drugiego zdania. Obwód naszego prostokąta będzie równy: $$Obw=2\cdot6cm+2\cdot8cm \           ,\ Obw=12cm+16cm \           ,\ Obw=28cm$$ Skoro obwód trójkąta wynosił \(18cm\), to znaczy, że obwód naszego prostokąta jest faktycznie o \(10cm\) dłuższy (bo \(28-18=10\)). Zdanie jest więc prawdą.

Teoria:      
W trakcie opracowania