Boki trójkąta \(ABC\) są zawarte w prostych o równaniach \(y=\frac{2}{3}x+2\) i \(y=-x+2\) oraz osi \(Ox\) układu współrzędnych (zobacz rysunek).





Pole trójkąta \(ABC\) jest równe:

A \(10\)
B \(\frac{5}{2}\)
C \(5\)
D \(\frac{3}{2}\)

Odpowiedź:      

C

Rozwiązanie:      
Krok 1. Ustalenie, która prosta jest prostą \(AC\), a która \(BC\). Skąd wiemy, która prosta jest opisana równaniem \(y=\frac{2}{3}x+2\), a która \(y=-x+2\)? By to stwierdzić, nie musimy tutaj wykonywać żadnych większych obliczeń. Wystarczy zauważyć, że jedna prosta jest rosnąca (czyli jej współczynnik kierunkowy \(a\) musi być dodatni), a druga jest malejąca (czyli jej współczynnik \(a\) musi być ujemny). To prowadzi nas do wniosku, że prosta \(AC\) wyraża się równaniem \(y=\frac{2}{3}x+2\), natomiast prosta \(BC\) wyraża się równaniem \(y=-x+2\). Krok 2. Wyznaczenie współrzędnych punktów \(A\), \(B\) oraz \(C\). Zacznijmy od punktu \(A\). Widzimy, że leży on na osi \(Ox\), czyli jego współrzędna \(y=0\). Skoro punkt \(A\) leży na prostej \(y=\frac{2}{3}x+2\), to podstawiając do tego równania \(y=0\), otrzymamy: $$0=\frac{2}{3}x+2 \           ,\ -2=\frac{2}{3}x \           ,\ x=-3$$ To oznacza, że \(A=(-3;0)\). Analogicznie podchodzimy do punktu \(B\), bo tutaj także \(y=0\), ale tym razem równaniem prostej przechodzącej przez ten punkt będzie \(y=-x+2\), tak więc: $$0=-x+2 \           ,\ x=2$$ To oznacza, że \(B=(2;0)\). Wyznaczenie współrzędnych punktu \(C\) jest najprostsze, ponieważ jest to punkt leżący na osi \(Oy\), a więc z pomocą przyjdzie nam współczynnik \(b\) prostej, która przez ten punkt przechodzi. Widzimy wyraźnie, że zarówno jedna, jak i druga prosta, mają współczynnik \(b=2\), tak więc \(C=(2;0)\). Krok 3. Obliczenie pola powierzchni trójkąta \(ABC\). Nanosząc na rysunek obliczone współrzędne, otrzymamy taką oto sytuację: Licząc nawet po kratkach widzimy, że podstawa naszego trójkąta ma długość \(a=5\), natomiast wysokość tego trójkąta to \(h=2\). Skoro tak, to korzystając ze standardowego wzoru na pole trójkąta, możemy zapisać, że: $$P=\frac{1}{2}ah \           ,\ P=\frac{1}{2}\cdot5\cdot2 \           ,\ P=5$$

Teoria:      
W trakcie opracowania