Równanie \(\frac{1-x}{x}=2x\) w zbiorze liczb całkowitych:

A nie ma żadnego rozwiązania
B ma dokładnie jedno rozwiązanie
C ma dokładnie dwa rozwiązania
D ma więcej niż dwa rozwiązania

Odpowiedź:      

B

Rozwiązanie:      
Krok 1. Zapisanie założeń. W mianowniku ułamka mamy niewiadomą \(x\) dlatego musimy zapisać odpowiednie założenia. Wartość mianownika musi być różna od zera (bo na matematyce nie istnieje dzielenie przez zero), zatem: $$x\neq0$$ Krok 2. Rozwiązanie równania. Rozwiązanie równania możemy zacząć od wymnożenia całości przez \(x\): $$\frac{1-x}{x}=2x \quad\bigg/\cdot x \           ,\ 1-x=2x^2 \           ,\ -2x^2-x+1=0$$ Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego. Otrzymaliśmy równanie kwadratowe w postaci ogólnej, zatem z pomocą przyjdzie nam wyliczenie delty: Współczynniki: \(a=-2,\;b=-1,\;c=1\) $$Δ=b^2-4ac=(-1)^2-4\cdot(-2)\cdot1=1-(-8)=9 \           ,\ \sqrt{Δ}=\sqrt{9}=3$$ $$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{1-3}{2\cdot(-2)}=\frac{-2}{-4}=\frac{1}{2} \           ,\ x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{1+3}{2\cdot(-2)}=\frac{4}{-4}=-1$$ Krok 4. Weryfikacja otrzymanych wyników. Na początek musimy sprawdzić, czy otrzymane rozwiązania nie wykluczają się z założeniem, że \(x\neq0\). W tym przypadku tak nie jest, zatem żadnego rozwiązania nie wykluczamy. Nasze zadanie polega na ustaleniu, ile rozwiązań całkowitych ma nasze równanie. Takie rozwiązanie jest tylko jedno, czyli \(x=-1\).

Teoria:      
W trakcie opracowania