Równanie \(x-\frac{1}{2x+1}=0\)

A ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste
B ma dokładnie trzy rozwiązania rzeczywiste
C ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste
D nie ma rozwiązań

Odpowiedź:      

A

Rozwiązanie:      
Krok 1. Zapisanie założeń do zadania. Z racji tego, iż w matematyce nie istnieje dzielenie przez zero, to wartość znajdująca się w mianowniku musi być różna od zera. W związku z tym: $$2x+1\neq0 \           ,\ 2x\neq-1 \           ,\ x\neq-\frac{1}{2}$$ To oznacza, że dziedziną równania są wszystkie liczby rzeczywiste oprócz \(-\frac{1}{2}\), co matematycznie możemy zapisać jako \(x\in\mathbb{R}\backslash\{-\frac{1}{2}\}\). Krok 2. Rozwiązanie równania. Musimy teraz rozwiązać równanie z treści zadania, a najlepiej będzie zacząć od pozbycia się mianownika: $$x-\frac{1}{2x+1}=0 \quad\bigg/\cdot(2x+1) \           ,\ x\cdot(2x+1)-1=0 \           ,\ 2x^2+x-1=0$$ Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego. Powstało nam równanie kwadratowe w postaci ogólnej, zatem aby je rozwiązać musimy skorzystać z metody delty: Współczynniki: \(a=2,\;b=1,\;c=-1\) $$Δ=b^2-4ac=1^2-4\cdot2\cdot(-1)=1-(-8)=1+8=9 \           ,\ \sqrt{Δ}=\sqrt{9}=3$$ $$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-1-3}{2\cdot2}=\frac{-4}{4}=-1 \           ,\ x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-1+3}{2\cdot2}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$$ Krok 3. Interpretacja otrzymanego wyniku. Żadne z otrzymanych rozwiązań nie wyklucza się z dziedziną, zatem to równanie ma dwa rozwiązania: \(x=-1\) oraz \(x=\frac{1}{2}\).

Teoria:      
W trakcie opracowania