Dana jest funkcja \(f(x)=-3x^2+bx+c\) dla \(x\in\mathbb{R}\). Prosta o równaniu \(x=2\) jest osią symetrii paraboli będącej jej wykresem, a zbiorem wartości funkcji \(f\) jest przedział \((-\infty ;21\rangle\). Wyznacz współczynniki \(b\) i \(c\).

Odpowiedź:      

\(b=12\), \(c=9\)

Rozwiązanie:      
Krok 1. Odczytanie współrzędnych wierzchołka paraboli. Choć nie jest to zapisane wprost, to z treści zadania możemy wyczytać współrzędne wierzchołka paraboli \(W=(p;q)\). Oś symetrii paraboli wskazuje nam pierwszą współrzędną, czyli współrzędną \(p\), bowiem oś symetrii przechodzi właśnie przez wierzchołek. Skoro osią symetrii jest prosta \(x=2\), to pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli będzie równa właśnie \(p=2\). Drugą współrzędną wskazuje nam zbiór wartości funkcji. Funkcja zawsze ma najmniejszą lub największą wartość w swoim wierzchołku. Skoro maksymalną wartością przyjmowaną przez naszą funkcję jest \(21\), to taka też będzie druga współrzędna wierzchołka paraboli, czyli \(q=21\). Możemy więc stwierdzić, że \(W=(2;21)\). Krok 2. Zapisanie wzoru funkcji w postaci kanonicznej. Znając współrzędne wierzchołka paraboli możemy zapisać wzór funkcji w postaci kanonicznej: $$f(x)=a(x-p)^2+q$$ Wiemy, że \(a=-3\), bo wynika to z zapisu funkcji w postaci ogólnej \(f(x)=-3x^2+bx+c\). Wiemy też jakie są współrzędne wierzchołka, czyli \(p=2\) oraz \(q=21\), zatem: $$f(x)=-3(x-2)^2+21$$ Krok 3. Zapisanie wzoru funkcji w postaci ogólnej i odczytanie współczynników \(b\) oraz \(c\). Teraz znając już wzór funkcji w postaci kanonicznej możemy przekształcić go do postaci ogólnej z której to potem odczytamy potrzebne współczynniki. $$f(x)=-3(x-2)^2+21 \           ,\ f(x)=-3(x^2-4x+4)+21 \           ,\ f(x)=-3x^2+12x-12+21 \           ,\ f(x)=-3x^2+12x+9$$ To oznacza, że współczynnik \(b=12\) oraz \(c=9\).

Teoria:      
W trakcie opracowania