Wykaż, że jeżeli liczby \(a\) i \(b\) są kolejnymi liczbami naturalnymi, to liczba \(\left(a+\frac{1}{2}b\right)^2-\left(a-\frac{1}{2}b\right)^2\) jest podzielna przez \(4\).

Odpowiedź:      

Udowodniono rozpisując liczbę z wykorzystaniem wzorów skróconego mnożenia.

Rozwiązanie:      
Krok 1. Rozpisanie liczby z wykorzystaniem wzorów skróconego mnożenia. Korzystając z wzorów skróconego mnożenia otrzymamy: $$\left(a+\frac{1}{2}b\right)^2-\left(a-\frac{1}{2}b\right)^2= \           ,\ =\left(a^2+ab+\frac{1}{4}b^2\right)-\left(a^2-ab+\frac{1}{4}b^2\right)= \           ,\ =a^2+ab+\frac{1}{4}b^2-a^2+ab-\frac{1}{4}b^2=2ab$$ Krok 2. Zakończenie dowodzenia. Jeżeli liczby \(a\) oraz \(b\) są kolejnymi liczbami naturalnymi, to jedna z nich jest liczbą parzystą. Pomnożenie liczby parzystej przez \(2\) (a pomnożymy ją przez \(2\), bo mamy zapis \(2ab\)) sprawi, że ta liczba na pewno będzie podzielna przez \(4\). W ten sposób dowodzenie można uznać za zakończone.

Teoria:      
W trakcie opracowania