Dla pewnej liczby rzeczywistej \(x\) liczby: \(1-x\), \(2-3x\), \(10+2x\) są trzema początkowymi wyrazami nieskończonego ciągu arytmetycznego \((a_{n})\), określonego dla \(n\ge1\). Wyznacz \(x\) oraz oblicz sumę dziesięciu początkowych wyrazów tego ciągu.

Odpowiedź:      

\(S_{10}=155\)

Rozwiązanie:      
Krok 1. Obliczenie wartości \(x\). Z własności ciągów arytmetycznych wynika, że dla trzech kolejno następujących po sobie wyrazów zachodzi następująca relacja: $$a_{2}=\frac{a_{1}+a_{3}}{2}$$ Podstawiając do tego wzoru wartości podane w treści zadania otrzymamy: $$2-3x=\frac{(1-x)+(10+2x)}{2} \           ,\ 2-3x=\frac{11+x}{2} \           ,\ 4-6x=11+x \           ,\ -7x=7 \           ,\ x=-1$$ Krok 2. Obliczenie wartości pierwszego, drugiego i trzeciego wyrazu. Skoro \(x=-1\), to podstawiając tę wartość do wyrażeń podanych w treści zadania otrzymamy: $$a_{1}=1-(-1)=1+1=2 \           ,\ a_{2}=2-3\cdot(-1)=2-(-3)=5 \           ,\ a_{3}=10+2\cdot(-1)=10-2=8$$ Krok 3. Obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego. Znając wartość pierwszego i drugiego wyrazu ciągu bez problemu obliczymy różnicę ciągu: $$r=a_{2}-a_{1} \           ,\ r=5-2 \           ,\ r=3$$ Krok 4. Obliczenie sumy dziesięciu pierwszych wyrazów. Znamy wartość \(a_{1}=2\), wiemy też że \(r=3\), zatem możemy obliczyć sumę dziesięciu pierwszych wyrazów: $$S_{n}=\frac{2a_{1}+(n-1)r}{2}\cdot n \           ,\ S_{10}=\frac{2\cdot2+(10-1)\cdot3}{2}\cdot10 \           ,\ S_{10}=\frac{4+9\cdot3}{2}\cdot10 \           ,\ S_{10}=\frac{4+27}{2}\cdot10 \           ,\ S_{10}=\frac{31}{2}\cdot10 \           ,\ S_{10}=15,5\cdot10 \           ,\ S_{10}=155$$

Teoria:      
W trakcie opracowania