Ciąg \((a_{n})\) jest określony wzorem \(a_{n}=\frac{4n+5}{2n+1}\) dla \(n\ge1\). Sprawdź, czy istnieje wyraz tego ciągu równy \(2\frac{1}{2}\).

Odpowiedź:      

Taki wyraz nie istnieje.

Rozwiązanie:      
Aby sprawdzić, czy w danym ciągu istnieje wyraz równy \(2\frac{1}{2}\) wystarczy rozwiązać następujące równanie: $$\frac{4n+5}{2n+1}=2\frac{1}{2} \quad\bigg/\cdot(2n+1) \           ,\ 4n+5=2\frac{1}{2}\cdot(2n+1) \           ,\ 4n+5=5n+2\frac{1}{2} \           ,\ -n=-2\frac{1}{2} \           ,\ n=2\frac{1}{2}$$ Otrzymany wynik nie jest liczbą naturalną, a to sprawia, że liczba \(2\frac{1}{2}\) nie może być jednym z wyrazów tego ciągu.

Teoria:      
W trakcie opracowania