Udowodnij, że nierówność \((x^2-3)^2+x^4\ge4\frac{1}{2}\) jest prawdziwa dla dowolnej liczby rzeczywistej.

Odpowiedź:      

Udowodniono upraszczając wyrażenie za pomocą wzorów skróconego mnożenia.

Rozwiązanie:      
Krok 1. Przeniesienie wyrazów na lewą stronę. Naszym zadaniem będzie przeniesienie wszystkich wyrazów na lewą stronę oraz umiejętne skorzystanie z wzorów skróconego mnożenia. Całość będzie wyglądać następująco: $$(x^2-3)^2+x^4\ge4\frac{1}{2} \           ,\ (x^2-3)^2+x^4-4\frac{1}{2}\ge0 \           ,\ x^4-6x^2+9+x^4-4\frac{1}{2}\ge0 \           ,\ 2x^4-6x^2+4\frac{1}{2}\ge0 \quad\bigg/\cdot2 \           ,\ 4x^4-12x^2+9\ge0 \           ,\ (2x^2-3)^2\ge0$$ Krok 2. Interpretacja otrzymanego wyniku. Z racji tego iż każda liczba podniesiona do kwadratu daje wynik nieujemny, to wartość \((2x^2-3)^2\) jest na pewno większa od zera lub równa zero, zatem faktycznie ta nierówność będzie spełniona dla każdej liczby rzeczywistej.

Teoria:      
W trakcie opracowania