Wartość wyrażenia \(\dfrac{tg30°\cdot tg60°-4sin^2 60°}{cos^2 40°+cos^2 50°}\) sprowadź do najprostszej postaci.

Odpowiedź:      

\(-2\)

Rozwiązanie:      
Krok 1. Wypisanie kluczowych wartości z tablic trygonometrycznych. Zanim zaczniemy obliczenia, to przyjrzyjmy się całemu przykładowi i omówmy sobie strategię rozwiązywania. Spójrzmy na licznik naszego wyrażenia. Wszystkie wartości możemy odczytać z tak zwanej "małej tabelki" trygonometrycznej, co pozwoli nam za chwilę wykonywać dokładne i precyzyjne obliczenia. Wypiszmy sobie zatem potrzebne dane: $$tg30°=\frac{\sqrt{3}}{3} \           ,\ tg60°=\sqrt{3} \           ,\ sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$$ Teraz spójrzmy na mianownik. Korzystając ze wzorów redukcyjnych możemy zauważyć, że: $$cos40°=sin(90°-50°)=sin50°$$ Skoro tak, to analogicznie \(cos^2 40°\) będzie równe \(sin^2 50°\). To oznacza, że w mianowniku pojawi nam się działanie \(sin^2 50°+cos^2 50°\), czyli tzw. "jedynka trygonometryczna". Krok 2. Obliczenie wartości wyrażenia. Korzystając z danych zapisanych w pierwszym kroku możemy zapisać, że: $$\frac{tg30°\cdot tg60°-4sin^2 60°}{cos^2 40°+cos^2 50°}= \           ,\ =\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot \sqrt{3}-4\cdot\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}{sin^2 50°+cos^2 50°}= \           ,\ =\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot \sqrt{3}-4\cdot\frac{3}{4}}{1}= \           ,\ =\frac{3}{3}-3=1-3=-2$$

Teoria:      
W trakcie opracowania