Grupa studentów zaplanowała wyjazd na narty. Postanowiono podzielić się po równo kosztem pobytu, który dla całej grupy wynosił \(3840zł\). Okazało się jednak, że z wyjazdu zrezygnowały \(4\) osoby, więc każdy z uczestników musiał zapłacić o \(160zł\) więcej. Oblicz, ile osób wzięło udział w tym wyjeździe na narty i jaką kwotę każda z nich zapłaciła.

Odpowiedź:      

W wyjeździe wzięło udział \(8\) osób, a każda z nich zapłaciła \(480zł\).

Rozwiązanie:      
Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do danych treści zadania. Na podstawie treści zadania możemy zapisać, że: \(x\) - liczba studentów, która pojechała na narty \(x+4\) - liczba studentów przed rezygnacją \(4\) osób \(\frac{3840}{x}\) - ostateczna cena wyjazdu pojedynczego studenta \(\frac{3840}{x+4}\) - cena wyjazdu pojedynczego studenta, przed rezygnacją \(4\) osób Z treści zadania wynika, że ostateczna cena na jedną osobę była o \(160zł\) wyższa, zatem powstaje nam następujące równanie: $$\frac{3840}{x}-160=\frac{3840}{x+4}$$ Krok 2. Rozwiązanie powstałego równania. $$\frac{3840}{x}-160=\frac{3840}{x+4} \quad\bigg/\cdot x \           ,\ 3840-160x=\frac{3840x}{x+4} \quad\bigg/\cdot(x+4) \           ,\ 3840\cdot(x+4)-160x\cdot(x+4)=3840x \           ,\ 3840x+15360-(160x^2+640x)=3840x \           ,\ 3840x+15360-160x^2-640x=3840x \           ,\ -160x^2-640x+15360=0$$ Aby działać na nieco mniejszych liczbach, możemy (choć nie musimy) podzielić obie strony tego równania przez \(-160\), dzięki czemu otrzymamy: $$x^2+4x-96=0$$ Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego. Otrzymaliśmy równanie kwadratowe w postaci ogólnej, zatem z pomocą przyjdzie nam delta: Współczynniki: \(a=1,\;b=4,\;c=-96\) $$Δ=b^2-4ac=4^2-4\cdot1\cdot(-96)=16-(-384)=400 \           ,\ \sqrt{Δ}=\sqrt{400}=20$$ $$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-4-20}{2\cdot1}=\frac{-24}{2}=-12 \           ,\ x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-4+20}{2\cdot1}=\frac{16}{2}=8$$ Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, bo liczba studentów nie może być ujemna. Zostaje nam zatem \(x=8\). Krok 4. Obliczenie kwoty, jaką zapłacił każdy ze studentów. Wyszło nam, że \(x=8\), czyli że było \(8\) studentów. Skoro zapłacili oni za wycieczkę \(3840zł\), to każdy z nich zapłacił: $$3840zł:8=480zł$$

Teoria:      
W trakcie opracowania