Wykaż, że jeśli liczby \((3^a,3^b,3^c)\) tworzą ciąg geometryczny, to liczby \((a,b,c)\) tworzą ciąg arytmetyczny.

Odpowiedź:      

Udowodniono korzystając z własności ciągów geometrycznych i arytmetycznych.

Rozwiązanie:      
Krok 1. Skorzystanie z własności trzech sąsiednich wyrazów ciągu geometrycznego. Dla trzech sąsiednich wyrazów ciągu geometrycznego zachodzi równość: $${a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3}$$ Podstawiając wyrazy z treści zadania otrzymamy: $$(3^b)^2=3^a\cdot3^c \           ,\ 3^{2b}=3^{a+c}$$ Krok 2. Zakończenie dowodzenia. Otrzymaliśmy równanie w którym po lewej i prawej stronie znajduje się trójka w podstawie potęgi. Skoro tak, to możemy "skrócić" te trójki i zostaje nam proste równanie: $$2b=a+c \           ,\ b=\frac{a+c}{2}$$ Otrzymaliśmy informację, że \(b\) jest równe \(\frac{a+c}{2}\), czyli jest to dokładnie ta sama zależność, która charakteryzuje ciągi arytmetyczne, bowiem w ciągach arytmetycznych dla trzech sąsiednich wyrazów zachodzi równość: $$a_{2}=\frac{a_{1}+a_{3}}{2} \           ,\ b=\frac{a+c}{2}$$ To oznacza, że dowodzenie możemy uznać za skończone.

Teoria:      
W trakcie opracowania