Narysuj wykres funkcji \(f(x)=2^x-3\). Podaj zbiór wartości tej funkcji.

Odpowiedź:      

\(y\in(-3;+\infty)\)

Rozwiązanie:      
Krok 1. Sporządzenie rysunku wykresu funkcji. Podana w zadaniu funkcja jest tak naprawdę funkcją wykładniczą \(2^x\), która jest przesunięta o \(3\) jednostki w dół. Musimy więc narysować najpierw naszą funkcję wykładniczą, a następnie wykonać jej przesunięcie. Aby narysować wykres funkcji wykładniczej \(2^x\) dobrze jest obliczyć i zaznaczyć najbardziej charakterystyczne punkty przez które taki wykres przechodzi. Z racji tego iż jest to zadanie otwarte, to powinniśmy wykonać ten wykres dość szczegółowo, stąd też policzymy sobie kilka takich kluczowych miejsc: Dla \(x=0\) funkcja \(2^x\) przyjmuje wartość \(2^0=1\) Dla \(x=1\) funkcja \(2^x\) przyjmuje wartość \(2^1=2\) Dla \(x=2\) funkcja \(2^x\) przyjmuje wartość \(2^2=4\) Dla \(x=-1\) funkcja \(2^x\) przyjmuje wartość \(2^{-1}=\frac{1}{2}\) Dla \(x=-2\) funkcja \(2^x\) przyjmuje wartość \(2^{-2}=\frac{1}{4}\) Teraz możemy narysować wykres funkcji \(2^x\) (linia niebieska), a następnie przesunąć każdy z punktów o trzy jednostki w dół otrzymując wykres funkcji \(2^x-3\) (linia zielona). Krok 2. Odczytanie zbioru wartości funkcji. Zbiór wartości odczytujemy z osi igreków. Widzimy wyraźnie, że nasza zielona funkcja zbliża się do \(y=-3\), ale nigdy tej linii nie osiągnie. To oznacza, że zbiorem wartości funkcji \(f(x)=2^x-3\) jest y\in(-3;+\infty).

Teoria:      
W trakcie opracowania