Wykaż, że jeśli liczba rzeczywista \(a\) spełnia warunek \(a\lt1\), to \(\frac{1}{1-a}\ge4a\).

Odpowiedź:      

Udowodniono przekształcając nierówność.

Rozwiązanie:      
Krok 1. Ustalenie znaku wyrażenia \(1-a\). Na początku musimy ustalić, czy \(1-a\) jest liczbą dodatnią, czy ujemną. To jest wbrew pozorom klucz do poprawnego rozwiązania tego zadania. Dlaczego? To co chcielibyśmy zrobić na samym początku przy rozwiązywaniu tej nierówności to wymnożyć jedną i drugą stronę przez wartość \(1-a\). I to jest dobry pomysł, pod warunkiem że jesteśmy pewni czy nasza wartość \(1-a\) jest dodatnia, czy też ujemna. Jeżeli \(1-a\) byłoby ujemne, to musielibyśmy zmienić znak nierówności na przeciwny, stąd też tak ważne jest to aby ustalić znak tego wyrażenia. Z założeń wynika, że \(a\lt1\). W związku z tym: $$a\lt1 \           ,\ 0\lt1-a \           ,\ 1-a\gt0$$ Wartość \(1-a\) jest zawsze większa od zera, zatem wykonując mnożenie przez obie strony nierówności nie musimy zmieniać znaku. Krok 2. Rozwiązanie nierówności. $$\frac{1}{1-a}\ge4a \quad\bigg/\cdot(1-a) \           ,\ 1\ge4a(1-a) \           ,\ 1\ge4a-4a^2 \           ,\ 4a^2-4a+1\ge0 \           ,\ (2a-1)^2\ge0$$ Z racji tego iż każda liczba podniesiona do kwadratu jest większa lub równa zero, to dowód możemy uznać za zakończony.

Teoria:      
W trakcie opracowania