Wyznacz długość boku kwadratu wpisanego w trójkąt równoboczny o boku \(a\) w ten sposób, że jeden bok kwadratu jest zawarty w boku trójkąta, a dwa wierzchołki kwadratu należą do pozostałych boków trójkąta.

Odpowiedź:      

\(x=a(2\sqrt{3}-3)\)

Rozwiązanie:      
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego. Spróbujmy sobie zwizualizować całą sytuację: Krok 2. Dostrzeżenie trójkątów podobnych. Skoro odcinek \(FG\) jest równoległy do podstawy \(AB\), to trójkąt \(GFC\) jest podobny do trójkąta \(ABC\). To z kolei oznacza, że trójkąt \(GFC\) jest także równoboczny. Krok 3. Zapisanie równania. Z własności trójkątów równobocznych wiemy, że: $$|CH|=\frac{a\sqrt{3}}{2}$$ Skoro \(GFC\) jest także trójkątem równobocznym o boku długości \(x\), to: $$|CI|=\frac{x\sqrt{3}}{2}$$ Patrząc się na rysunek możemy dodatkowo stwierdzić, że: $$|CI|=|CH|-x$$ Łącząc teraz wyrażenia zapisane przed chwilą otrzymujemy równanie: $$\frac{x\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{2}-x$$ Krok 4. Rozwiązanie powstałego równania. Najlepiej jest całość najpierw wymnożyć przez \(2\), aby pozbyć się ułamków, a następnie przenieść iksy na lewą stronę: $$\frac{x\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{2}-x \quad\bigg/\cdot2 \           ,\ x\sqrt{3}=a\sqrt{3}-2x \           ,\ x\sqrt{3}+2x=a\sqrt{3} \           ,\ x(2+\sqrt{3})=a\sqrt{3} \quad\bigg/:(2+\sqrt{3}) \           ,\ x=\frac{a\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}} \           ,\ x=\frac{a\sqrt{3}\cdot(2-\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})\cdot(2-\sqrt{3})} \           ,\ x=\frac{2a\sqrt{3}-3a}{4-3} \           ,\ x=\frac{2a\sqrt{3}-3a}{1} \           ,\ x=2a\sqrt{3}-3a \           ,\ x=a(2\sqrt{3}-3)$$

Teoria:      
W trakcie opracowania