Wykresem funkcji kwadratowej \(f\) określonej wzorem \(f(x)=2x^2+bx+c\) jest parabola o wierzchołku w punkcie \(W=(1;-8)\). Oblicz wartości współczynników \(b\) i \(c\) we wzorze funkcji \(f\).

Odpowiedź:      

\(b=-4\) oraz \(c=-6\)

Rozwiązanie:      
Krok 1. Zapisanie wzoru w postaci kanonicznej. Znając współrzędne wierzchołka paraboli, możemy bez problemu zapisać wzór tej funkcji w postaci kanonicznej \(f(x)=a(x-p)^2+q\). Podstawiając \(p=1\) oraz \(q=-8\), otrzymamy: $$f(x)=a(x-p)^2+q \           ,\ f(x)=a\cdot(x-1)^2+(-8)$$ Ze wzoru podanego w treści zadania wynika, że \(a=2\), zatem możemy jeszcze zapisać, że: $$f(x)=2\cdot(x-1)^2-8$$ Krok 2. Przekształcenie wzoru funkcji do postaci ogólnej. Celem zadania jest poznanie wzoru w postaci ogólnej \(f(x)=ax^2+bx+c\), bo tylko wtedy będziemy w stanie podać wartość współczynników \(b\) i \(c\). W tym celu wystarczy po prostu wykonać mnożenie i potęgowanie, które znalazło się w postaci kanonicznej. Całość będzie wyglądać następująco: $$f(x)=2\cdot(x-1)^2-8 \           ,\ f(x)=2\cdot(x^2-2x+1)-8 \           ,\ f(x)=2x^2-4x+2-8 \           ,\ f(x)=2x^2-4x-6$$ To oznacza, że \(b=-4\) oraz \(c=-6\).

Teoria:      
W trakcie opracowania