Dany jest kwadrat \(ABCD\). Zbudowano trójkąty równoboczne \(ACE\) i \(BDF\) tak, że wierzchołek \(D\) kwadratu leży wewnątrz trójkąta \(ACE\), a wierzchołek \(C\) - wewnątrz trójkąta \(BDF\). Odcinki \(CE\) i \(DF\) przecinają się w punkcie \(G\) (jak na rysunku).





Wykaż, że \(|CG|=|CF|\).

Odpowiedź:      

Udowodniono, korzystając z własności kątów oraz trójkątów równoramiennych.

Rozwiązanie:      
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego. Skoro trójkąty \(ACE\) i \(BDF\) są równoboczne (czyli mają wszystkie kąty o mierze \(60°\)), a przekątne kwadratu tworzą z bokami kąty \(45°\), to sytuacja z treści zadania wygląda następująco: Krok 2. Obliczenie miar poszczególnych kątów. Korzystając z rysunku możemy teraz obliczyć miarę np. kąta \(CDF\): $$|\sphericalangle CDF|=60°-45°=15°$$ Można więc powiedzieć, że w takim razie w trójkącie równoramiennym \(CDG\) kąty przy podstawie mają \(15°\), zatem kąt \(CGD\) ma: $$|\sphericalangle CGD|=180°-15°-15°=150°$$ Spójrzmy teraz na kąt \(CGF\). Jest on kątem przystającym do kąta \(CGD\), zatem jego miara jest równa: $$|\sphericalangle CGF|=180°-150°=30°$$ Bardzo podobnie możemy obliczyć miarę kąta \(FCG\). $$|\sphericalangle FCG|=180°-45°-15°=120°$$ I teraz spoglądamy na trójkąt \(CGF\). Znamy już dwie miary kątów w tym trójkącie i są to kąty o mierze \(30°\) oraz \(120°\), zatem trzeci kąt ma miarę: $$|\sphericalangle FCG|=180°-120°-30°=30°$$ To oznacza, że kąty przy boku \(FG\) mają jednakową miarę, czyli że trójkąt \(CGF\) jest równoramienny. Skoro tak, to faktycznie \(|CG|=|CF|\), co należało udowodnić.

Teoria:      
W trakcie opracowania