Pola trzech ścian prostopadłościanu wynoszą \(72\), \(36\) i \(18\). Objętość tego prostopadłościanu jest równa:

A \(72\)
B \(132\)
C \(216\)
D \(288\)

Odpowiedź:      

C

Rozwiązanie:      
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego. Narysujmy sobie prostopadłościan i zastanówmy się, co tak naprawdę wynika z treści zadania: Nie jest istotne jakimi symbolami opiszemy te ściany. Ważne jest to, że powstaną nam tak naprawdę trzy różne prostokąty, których pola zapisane są w treści zadania. Korzystając ze wzoru na pole prostokąta możemy ułożyć trzy następujące równania, które stworzą nam tym samym układ równań: \begin{cases} a\cdot b=18 \           ,\ b\cdot c=36 \           ,\ a\cdot c=72 \end{cases} Krok 2. Rozwiązanie powstałego układu równań. Naszym zadaniem jest teraz rozwiązanie układu równań. Jest wiele dróg na dojście do wyniku, ale najprościej będzie chyba przekształcić pierwsze i drugie równanie w taki sposób: \begin{cases} a=\frac{18}{b} \           ,\ c=\frac{36}{b} \           ,\ a\cdot c=72 \end{cases} Podstawmy teraz do trzeciego równania to, co otrzymaliśmy w równaniu pierwszym i drugim: $$\frac{18}{b}\cdot\frac{36}{b}=72 \           ,\ \frac{648}{b^2}=72 \           ,\ 72b^2=648 \           ,\ b^2=9 \           ,\ b=3 \quad\lor\quad b=-3$$ Oczywiście ujemną długość musimy odrzucić, więc zostaje nam \(b=3\). Teraz korzystając z odpowiednich równań z układu, możemy dojść do brakujących długości \(a\) oraz \(c\): $$a\cdot b=18 \           ,\ a\cdot3=18 \           ,\ a=6$$ $$b\cdot c=36 \           ,\ 3\cdot c=36 \           ,\ c=12$$ Krok 3. Obliczenie objętości prostopadłościanu. Znając wszystkie długości boków prostopadłościanu, możemy bez problemu obliczyć jego objętość: $$V=6\cdot3\cdot12 \           ,\ V=216$$

Teoria:      
W trakcie opracowania