Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(a\) i każdej liczby rzeczywistej \(b\) prawdziwa jest nierówność \(\left(\frac{a+b}{2}\right)^2\le\frac{a^2+b^2}{2}\).

Odpowiedź:      

Udowodniono przekształcając podane równanie.

Rozwiązanie:      
Przekształćmy to równanie w następujący sposób: $$\left(\frac{a+b}{2}\right)^2\le\frac{a^2+b^2}{2} \           ,\ \frac{a^2+2ab+b^2}{4}\le\frac{a^2+b^2}{2} \quad\bigg/\cdot4 \           ,\ a^2+2ab+b^2\le2a^2+2b^2 \           ,\ 0\le a^2-2ab+b^2 \           ,\ 0\le (a-b)^2$$ Z racji tego, że kwadrat dowolnej liczby jest zawsze większy lub równy zero, to dowód możemy uznać za zakończony.

Teoria:      
W trakcie opracowania