Kąt \(α\) jest ostry i spełniona jest równość \(sinα+cosα=\frac{\sqrt{7}}{2}\). Oblicz wartość wyrażenia \((sinα-cosα)^2\).

Odpowiedź:      

\(\frac{1}{4}\)

Rozwiązanie:      
Podnosząc do kwadratu sumę \(sinα+cosα\) otrzymamy: $$sinα+cosα=\frac{\sqrt{7}}{2} \           ,\ (sinα+cosα)^2=\left(\frac{\sqrt{7}}{2}\right)^2 \           ,\ sin^2α+2sinαcosα+cos^2α=\frac{7}{4} \           ,\ sin^2α+cos^2α+2sinαcosα=\frac{7}{4} \           ,\ 1+2sinαcosα=\frac{7}{4} \           ,\ 2sinαcosα=\frac{3}{4}$$ Teraz wiedząc, że \(2sinαcosα=\frac{3}{4}\) możemy zapisać, że: $$(sinα-cosα)^2=sin^2α-2sinαcosα+cos^2α= \           ,\ =sin^2α+cos^2α-2sinαcosα=1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}$$

Teoria:      
W trakcie opracowania