Pole koła opisanego na trójkącie równobocznym jest równe \(\frac{1}{3}π^3\). Długość boku tego trójkąta jest równa:

A \(\frac{π}{3}\)
B \(π\)
C \(\sqrt{3}π\)
D \(3π\)

Odpowiedź:      

B

Rozwiązanie:      
Krok 1. Zapisanie zależności między promieniem koła i wysokością trójkąta. Promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym jest równy \(\frac{2}{3}\) wysokości tego trójkąta. Wiedząc, że wysokość trójkąta równobocznego o boku \(a\) wyraża się wzorem \(h=\frac{a\sqrt{3}}{2}\) możemy zapisać, że: $$R=\frac{2}{3}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2} \           ,\ R=\frac{a\sqrt{3}}{3}$$ Krok 2. Obliczenie długości boku trójkąta. Korzystając ze wzoru na pole koła możemy zapisać, że: $$P=πR^2 \           ,\ \frac{1}{3}π^3=π\cdot\left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2 \quad\bigg/:π \           ,\ \frac{1}{3}π^2=\left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2 \           ,\ \frac{1}{3}π^2=\frac{a^2\cdot3}{9} \           ,\ \frac{1}{3}π^2=\frac{a^2}{3} \quad\bigg/\cdot3 \           ,\ π^2=a^2 \           ,\ a=π \quad\lor\quad a=-π$$ Wartość ujemną oczywiście odrzucamy, bo bok trójkąta nie może mieć ujemnej długości, zatem \(a=π\).

Teoria:      
W trakcie opracowania