Ramię trapezu równoramiennego \(ABCD\) ma długość \(\sqrt{26}\). Przekątne w tym trapezie są prostopadłe, a punkt ich przecięcia dzieli je w stosunku \(2:3\). Oblicz pole tego trapezu.

Odpowiedź:      

\(P=25\)

Rozwiązanie:      
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego. W trapezie równoramiennym przekątne są równej długości. Dodatkowo wiemy, że w tym konkretnym przypadku przecinają się pod kątem prostym. Skoro więc punkt przecięcia się przekątnych dzieli je w stosunku \(2:3\), to nasz rysunek będzie wyglądać mniej więcej w ten sposób: Krok 2. Obliczenie wartości \(x\). Spójrzmy przykładowo na trójkąt \(BCS\). Jest to trójkąt prostokątny, zatem możemy obliczyć wartość niewiadomej \(x\) korzystając z Twierdzenia Pitagorasa. $$(2x)^2+(3x)^2=(\sqrt{26})^2 \           ,\ 4x^2+9x^2=26 \           ,\ 13x^2=26 \           ,\ x^2=2 \           ,\ x=\sqrt{2} \quad\lor\quad x=-\sqrt{2}$$ Ujemną wartość oczywiście odrzucamy, bo bok nie może mieć ujemnej długości, zatem zostaje nam \(x=\sqrt{2}\). Krok 3. Obliczenie pola trapezu. Jak spojrzymy na nasz rysunek to możemy wyodrębnić w nim dwa duże trójkąty \(ACD\) oraz \(ABC\). Suma pól tych dwóch trójkątów jest równa polu trapezu. W jednym i drugim trójkącie mamy podstawę równą \(3x+2x=5x\). Skoro \(x=\sqrt{2}\), to już wiemy, że ta podstawa ma długość \(a=5\sqrt{2}\). W jednym i drugim trójkącie znamy też wysokości - w trójkącie \(ACD\) wysokość wynosi ona \(2x\) (czyli \(h=2\sqrt{2}\)), a dla trójkąta \(ABC\) wysokość jest równa \(3x\) (czyli \(h=3\sqrt{2}\)). W związku z tym: $$P=P_{ACD}+P_{ABC} \           ,\ P=\frac{1}{2}\cdot5\sqrt{2}\cdot2\sqrt{2}+\frac{1}{2}\cdot5\sqrt{2}\cdot3\sqrt{2} \           ,\ P=\frac{1}{2}\cdot10\cdot2+\frac{1}{2}\cdot15\cdot2 \           ,\ P=10+15 \           ,\ P=25$$

Teoria:      
W trakcie opracowania