Ciąg arytmetyczny \((a_{n})\) ma dwanaście wyrazów, których suma jest równa \(168\). Różnica \(a_{1}-a_{12}\) wynosi \(22\).



Wyznacz wzór ogólny ciągu \((a_{n})\). Zapisz obliczenia.

Odpowiedź:      

\(a_{n}=-2n+27\)

Rozwiązanie:      
Krok 1. Obliczenie wartości \(a_{1}\) oraz \(a_{12}\). Korzystając ze wzoru na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu, możemy zapisać, że: $$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{12}}{2}\cdot12 \           ,\ 168=\frac{a_{1}+a_{12}}{2}\cdot12 \           ,\ 14=\frac{a_{1}+a_{12}}{2} \           ,\ a_{1}+a_{12}=28$$ Z treści zadania wiemy, że \(a_{1}-a_{12}=22\), czyli że tym samym \(a_{1}=22+a_{12}\). Podstawiając tę informację do równania \(a_{1}+a_{12}=28\), wyjdzie nam, że: $$22+a_{12}+a_{12}=28 \           ,\ 2a_{12}=6 \           ,\ a_{12}=3$$ Musimy jeszcze obliczyć wartość \(a_{1}\). Zapisaliśmy przed chwilą, że \(a_{1}=22+a_{12}\), zatem: $$a_{1}=22+3 \           ,\ a_{1}=25$$ Krok 2. Obliczenie różnicy ciągu. Do wyznaczenia wzoru potrzebujemy jeszcze różnicy ciągu arytmetycznego. Korzystając ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego wiemy, że: $$a_{12}=a_{1}+11r$$ Podstawiając do tego równania znane nam \(a_{1}=25\) oraz \(a_{12}=3\), otrzymamy: $$3=25+11r \           ,\ 11=-22 \           ,\ r=-2$$ Krok 3. Zapisanie wzoru. Do zapisania wzoru skorzystamy ze standardowego wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego: $$a_{n}=a_{1}+(n-1)r$$ Podstawiając do niego \(a_{1}=25\) oraz \(r=-2\), otrzymamy: $$a_{n}=25+(n-1)\cdot(-2) \           ,\ a_{n}=25-2n+2 \           ,\ a_{n}=-2n+27$$

Teoria:      
W trakcie opracowania