W pewnym graniastosłupie prawidłowym czworokątnym przekątna ściany bocznej jest pięć razy dłuższa od przekątnej podstawy.



Stosunek długości krawędzi bocznej tego graniastosłupa do długości krawędzi jego podstawy jest równy:

A \(5\)
B \(\sqrt{5}\)
C \(5\sqrt{2}\)
D \(7\)

Odpowiedź:      

D

Rozwiązanie:      
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego. Graniastosłup jest prawidłowy czworokątny, czyli w podstawie będzie miał kwadrat. Oznaczmy zatem krawędź podstawy jako \(a\), natomiast krawędź boczną jako \(b\). Dodatkowo możemy zapisać, że przekątna podstawy ma długość \(a\sqrt{2}\) (bo jest to przekątna podstawy o boku \(a\)), a przekątna ściany bocznej będzie pięciokrotnie dłuższa, czyli będzie miała długość \(5a\sqrt{2}\). Sytuacja będzie więc wyglądać następująco: Krok 2. Obliczenie stosunku długości krawędzi bocznej do krawędzi podstawy. Spójrzmy teraz na trójkąt prostokątny, który powstał nam na ścianie bocznej. Korzystając z twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że: $$a^2+b^2=(5a\sqrt{2})^2 \           ,\ a^2+b^2=25\cdot a^2\cdot 2 \           ,\ a^2+b^2=50a^2 \           ,\ b^2=49a^2 \           ,\ b=\sqrt{49a^2} \quad\lor\quad b=-\sqrt{49a^2} \           ,\ b=7a \quad\lor\quad b=-7a$$ Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, bo długość boku nie może być ujemna. W takim razie zostaje nam wynik \(b=7a\), który informuje nas, że krawędź boczna jest \(7\) razy dłuższa od krawędzi podstawy.

Teoria:      
W trakcie opracowania