Ciąg \((a_{n})\) jest określony wzorem \(a_{n}=n^2-n\), dla \(n\ge1\). Który wyraz tego ciągu jest równy \(6\)?

A Drugi
B Trzeci
C Szósty
D Trzydziesty

Odpowiedź:      

B

Rozwiązanie:      
Zadanie możemy rozwiązać na dwa sposoby. I sposób - metoda podstawiania: Możemy podstawiać pod \(n\) poszczególne liczby z odpowiedzi (czyli \(n=2\), \(n=3\), \(n=6\) oraz \(n=30\)) i sprawdzić kiedy wynik będzie równy \(6\). Całość wyglądałaby wtedy następująco: $$a_{2}=2^2-2=4-2=2 \           ,\ a_{3}=3^2-3=9-3=6 \           ,\ a_{6}=n^2-n=6^2-6=36-6=30 \           ,\ a_{30}=n^2-n=30^2-30=900-30=870$$ To oznacza, że to właśnie trzeci wyraz tego ciągu jest równy \(6\). II sposób - tworząc odpowiednie równanie kwadratowe: Gdyby się okazało, że tego typu zadanie jest zadaniem otwartym, bez podpowiedzi, to całość moglibyśmy rozwiązać tworząc i rozwiązując odpowiednie równanie kwadratowe: $$n^2-n=6 \           ,\ n^2-n-6=0$$ Współczynniki: \(a=1,\;b=-1,\;c=-6\) $$Δ=b^2-4ac=(-1)^2-4\cdot1\cdot(-6)=1+24=25 \           ,\ \sqrt{Δ}=\sqrt{25}=5$$ $$n_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-1)-5}{2\cdot1}=\frac{1-5}{2}=\frac{-4}{2}=-2 \           ,\ n_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-1)+5}{2\cdot1}=\frac{1+5}{2}=\frac{6}{2}=3$$ Skoro \(n\gt1\), to ujemny wynik odrzucamy i zostaje nam \(n=3\), czyli trzeci wyraz.

Teoria:      
W trakcie opracowania