Długość okręgu opisanego równaniem \(x^2-4x+y^2-4=0\) jest równa:

A \(4\sqrt{2}π\)
B \(4π\)
C \(2\sqrt{2}π\)
D \(8\sqrt{2}π\)

Odpowiedź:      

A

Rozwiązanie:      
Równanie okręgu o środku w punkcie \(S=(a;b)\) oraz promieniu \(r\) przyjmuje postać: $$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$ Musimy zatem doprowadzić równanie z treści zadania właśnie do takiej postaci, co pozwoli nam wyznaczyć najpierw promień okręgu, a potem długość całego okręgu. Zrobimy to w następujący sposób: Krok 1. Zapisanie równania w postaci równania okręgu. $$x^2-4x+y^2-4=0 \           ,\ x^2-4x+4-4+y^2-4=0 \           ,\ (x-2)^2-4+y^2-4=0 \           ,\ (x-2)^2+y^2-8=0 \           ,\ (x-2)^2+(y-0)^2-8=0 \           ,\ (x-2)^2+(y-0)^2=8$$ (W drugiej linii dopisaliśmy sobie \(+4-4\), tak aby móc zastosować wzór skróconego mnożenia). Krok 2. Wyznaczenie długości promienia. Porównując postać równania z tym co otrzymaliśmy w pierwszym kroku możemy zauważyć, że: $$r^2=8 \           ,\ r=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$$ Krok 3. Wyznaczenie długości okręgu. Korzystając ze wzoru na długość okręgu możemy zapisać, że: $$Obw=2πr \           ,\ Obw=2π\cdot2\sqrt{2} \           ,\ Obw=4\sqrt{2}π$$

Teoria:      
W trakcie opracowania