Pole koła wpisanego w trójkąt równoboczny jest równe \(\frac{16}{3}π\). Obwód tego trójkąta jest równy:

A \(12\sqrt{3}\)
B \(24\)
C \(12\)
D \(36\)

Odpowiedź:      

B

Rozwiązanie:      
Krok 1. Obliczenie długości promienia. Korzystając ze wzoru na pole koła możemy zapisać, że: $$πr^2=\frac{16}{3}π \           ,\ r^2=\frac{16}{3} \           ,\ r=\sqrt{\frac{16}{3}} \quad\lor\quad r=-\sqrt{\frac{16}{3}}$$ Wartość ujemną oczywiście odrzucamy, zatem zostaje nam \(r=\sqrt{\frac{16}{3}}\), co możemy jeszcze zapisać jako \(r=\frac{4}{\sqrt{3}}\). Krok 2. Obliczenie wysokości trójkąta. Z własności okręgów wpisanych w trójkąt równoboczny wiemy, że promień okręgu wpisanego jest równy \(\frac{1}{3}\) wysokości trójkąta, czyli \(r=\frac{1}{3}h\). To pozwoli nam wyznaczyć wysokość takiego trójkąta: $$r=\frac{1}{3}h \           ,\ \frac{4}{\sqrt{3}}=\frac{1}{3}h \quad\bigg/\cdot3 \           ,\ h=\frac{12}{\sqrt{3}}$$ Krok 3. Wyznaczenie długości boku trójkąta. Z własności trójkątów równobocznych wynika, że \(h=\frac{a\sqrt{3}}{2}\). W związku z tym: $$h=\frac{a\sqrt{3}}{2} \           ,\ \frac{12}{\sqrt{3}}=\frac{a\sqrt{3}}{2} \quad\bigg/\cdot2 \           ,\ \frac{24}{\sqrt{3}}=a\sqrt{3} \quad\bigg/\cdot\sqrt{3} \           ,\ 24=3a \           ,\ a=8$$ Krok 4. Obliczenie obwodu trójkąta. Trójkąt równoboczny ma trzy boki równej długości, zatem: $$Obw=8+8+8=24$$

Teoria:      
W trakcie opracowania