Układ równań \(\begin{cases}

y=-ax+2a \           ,\

y=\frac{b}{3}x-2

\end{cases}\) nie ma rozwiązań dla:

A \(a=-1\) i \(b=-3\)
B \(a=1\) i \(b=3\)
C \(a=1\) i \(b=-3\)
D \(a=-1\) i \(b=3\)

Odpowiedź:      

C

Rozwiązanie:      
Z pomocą przyjdzie nam interpretacja graficzna układu równań. Układ równań nie ma rozwiązań, kiedy reprezentują go dwie proste równoległe względem siebie (które jednocześnie się nie pokrywają). Skoro dwie proste mają być równoległe to ich współczynnik kierunkowy \(a\) znajdujący się przed iksem musi być jednakowy. Zatem: $$-a=\frac{b}{3} \           ,\ -3a=b \           ,\ \frac{b}{a}=-3$$ Teraz patrzymy na nasze odpowiedzi. Parą liczb która spełnia warunki tej równości może być albo para z trzeciej odpowiedzi, czyli \(a=1\) i \(b=-3\), albo z czwartej, czyli \(a=-1\) i \(b=3\). Ustaliliśmy też, że muszą to być proste które się ze sobą nie pokrywają, czyli muszą mieć różne współczynniki \(b\). Zatem: $$2a\neq-2 \           ,\ a\neq-1$$ To z kolei wyklucza nam odpowiedzi gdzie \(a=-1\), zatem jedyną pasującą odpowiedzią jest trzecia, która zawiera parę liczb \(a=1\) i \(b=-3\).

Teoria:      
W trakcie opracowania