Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego \(ABCDS\) jest kwadrat \(ABCD\). Wszystkie ściany boczne tego ostrosłupa są trójkątami równobocznymi. Miara kąta \(ASC\) jest równa:

A \(45°\)
B \(30°\)
C \(75°\)
D \(90°\)

Odpowiedź:      

D

Rozwiązanie:      
Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego. Bardzo ważną informacją jest fakt, że ściany boczne są trójkątami równobocznymi. Jeśli krawędzi podstawy oznaczymy sobie jako \(a\), to skoro są to wszystko trójkąty równoboczne to także krawędzie boczne możemy opisać jako \(a\). Dodatkowo przekątna kwadratu ma długość \(a\sqrt{2}\). Krok 2. Wyznaczenie miary kąta \(ASC\). W zasadzie możemy miarę tego kąta wyznaczyć na dwa sposoby: I sposób - z podobieństwa trójkątów. Możemy zauważyć, że trójkąt \(ASC\) jest trójkątem podobnym do trójkąta \(ABC\). Mają one te same długości ramion , czyli \(a\) oraz podstawy czyli \(a\sqrt{2}\). Skoro tak, to wszystkie miary tych kątów będą także sobie równe. My wiemy, że \(|\sphericalangle ABC|=90°\), bo wszystkie kąty w kwadracie mają taką miarę. Stąd też także \(|\sphericalangle ASC|=90°\). II sposób - z Twierdzenia Pitagorasa. Ogólnie z Twierdzenia Pitagorasa możemy korzystać tylko przy obliczeniach na trójkątach prostokątnych. My nie wiemy czy nasz trójkąt jest prostokątny, ale jeśli pod \(a^2+b^2=c^2\) podstawimy nasze dane i równość okaże się prawdziwa, to będzie to oznaczało, że trójkąt jest prostokątny, a tym samym \(\sphericalangle ASC=90°\). Zatem: $$a^2+a^2=(a\sqrt{2})^2 \           ,\ 2a^2=2a^2 \           ,\ L=P$$ Jest to więc trójkąt prostokątny, czyli poszukiwana miara kąta to \(90°\).

Teoria:      
W trakcie opracowania