Dłuższa przekątna sześciokąta foremnego ma długość \(2\sqrt{2}\). Pole tego sześciokąta jest równe:

A \(12\sqrt{3}\)
B \(6\sqrt{3}\)
C \(2\sqrt{3}\)
D \(3\sqrt{3}\)

Odpowiedź:      

D

Rozwiązanie:      
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego. W sześciokącie foremnym mamy trzy dłuższe przekątne równej miary, które przecinają się w połowie swojej długości. Wiemy, że każda taka dłuższa przekątna ma miarę \(2\sqrt{2}\), zatem cała sytuacja będzie więc wyglądać mniej więcej w ten sposób: Krok 2. Obliczenie pola powierzchni pojedynczego trójkąta. Powstało nam sześć trójkątów równobocznych, każdy o boku \(a=\sqrt{2}\). Korzystając ze wzoru na pole trójkąta równobocznego możemy obliczyć, że pole każdego z tych pojedynczych trójkątów jest równe: $$P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4} \           ,\ P=\frac{(\sqrt{2})^2\sqrt{3}}{4} \           ,\ P=\frac{2\sqrt{3}}{4} \           ,\ P=\frac{\sqrt{3}}{2}$$ Krok 3. Obliczenie pola sześciokąta. Sześciokąt składa się z sześciu takich trójkątów równobocznych, zatem jego pole powierzchni będzie równe: $$P=6\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} \           ,\ P=3\sqrt{3}$$

Teoria:      
W trakcie opracowania