Ciąg \((a_{n})\) jest określony dla \(n\ge1\) wzorem: \(a_{n}=2n-1\). Suma jedenastu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa:

A \(101\)
B \(121\)
C \(99\)
D \(81\)

Odpowiedź:      

B

Rozwiązanie:      
Krok 1. Obliczenie wartości pierwszego wyrazu. Do obliczenia sumy jedenastu początkowych wyrazów skorzystamy ze wzoru: $$S_{n}=\frac{2a_{1}+(n-1)r}{2}\cdot n$$ Widzimy wyraźnie, że brakuje nam tutaj znajomości wartości pierwszego wyrazu \(a_{1}\) oraz różnicy ciągu \(r\). Zacznijmy od wyznaczenia \(a_{1}\). Aby wyznaczyć wartość pierwszego wyrazu musimy po prostu do wzoru ciągu podstawić \(n=1\). Otrzymamy wtedy: $$a_{n}=2n-1 \           ,\ a_{1}=2\cdot1-1 \           ,\ a_{1}=2-1 \           ,\ a_{1}=1$$ Krok 2. Obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego. Różnicę ciągu możemy tak naprawdę odczytać wprost ze wzoru - jest to liczba znajdująca się przed \(n\), czyli w tym przypadku \(r=2\). Gdybyśmy o tej własności nie pamiętali, to wystarczy obliczyć wartość drugiego wyrazu i odjąć od niej wartość wyrazu pierwszego (którą już znamy). Zatem: $$a_{n}=2n-1 \           ,\ a_{2}=2\cdot2-1 \           ,\ a_{2}=4-1 \           ,\ a_{2}=3$$ W związku z tym: $$r=a_{2}-a_{1} \           ,\ r=3-1 \           ,\ r=2$$ Krok 3. Obliczenie sumy jedenastu początkowych wyrazów ciągu. Podstawiając do wzoru na sumę początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego znane nam wartości \(a_{1}=1\), \(r=2\) oraz \(n=11\) (bo mamy obliczyć sumę jedenastu wyrazów) otrzymamy, że: $$S_{n}=\frac{2a_{1}+(n-1)r}{2}\cdot n \           ,\ S_{11}=\frac{2\cdot1+(11-1)\cdot2}{2}\cdot11 \           ,\ S_{11}=\frac{2+10\cdot2}{2}\cdot11 \           ,\ S_{11}=\frac{2+20}{2}\cdot11 \           ,\ S_{11}=\frac{22}{2}\cdot11 \           ,\ S_{11}=11\cdot11 \           ,\ S_{11}=121$$

Teoria:      
W trakcie opracowania