Dany jest ciąg arytmetyczny \((a_{n})\) dla \(n\ge1\), w którym \(a_{10}=11\) oraz \(a_{100}=111\). Wtedy różnica \(r\) tego ciągu jest równa:

A \(\frac{9}{10}\)
B \(-100\)
C \(\frac{10}{9}\)
D \(100\)

Odpowiedź:      

C

Rozwiązanie:      
Korzystając ze wzoru ogólnego na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego, czyli \(a_{n}=a_{1}+(n-1)r\) możemy zapisać, że: $$a_{10}=a_{1}+(10-1)r \           ,\ a_{10}=a_{1}+9r \           ,\ \quad\           ,\ a_{100}=a_{1}+(100-1)r \           ,\ a_{100}=a_{1}+99r$$ To oznacza, że: $$a_{100}-a_{10}=a_{1}+99r-(a_{1}+9r) \           ,\ a_{100}-a_{10}=a_{1}+99r-a_{1}-9r \           ,\ a_{100}-a_{10}=90r$$ Podstawiając teraz do naszego równania wartości setnego i dziesiątego wyrazu otrzymamy: $$111-11=90r \           ,\ 100=90r \           ,\ r=\frac{100}{90} \           ,\ r=\frac{10}{9}$$

Teoria:      
W trakcie opracowania